Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 03.07

Trennung der Variablen. Kann eine DGL erster Ordnung in der Gestalt

y′(x) = f (x)g(y(x))

geschrieben werden, so liegt eine DGL mit getrennten Variablen vor.

Satz. Ist die Funktion f stetig auf dem Intervall I_{x} und die Funktion g stetig auf dem Intervall I_{y}, so hat das AWP y(x_{o}) = y_{o} , x_{o} ∈ I_{x} genau eine lokale Lösung (eine einseitige Lösung, falls x_{o} ein Randpunkt von I_{x} ist) wenn

• g(y_{o}) ≠ 0 , oder

• g(y_{o}) = 0 aber |g(y) − g(y_{o})| < c|y − y_{o}| in einer Umgebung von y_{o} gilt. Die Lösung ergibt sich im ersten Fall aus der Gleichung

∫_{y_{o}}^{y} \frac{ds}{g(s)} = ∫_{x_{o}}^{x}f (r) dr

Im zweiten Fall gilt y(x) = const = y_{o} .

Beispiel. y′ = \sqrt{|y(x)|}: In diesem Fall ist

y_{a}(x) := \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}}{4} & für x > 0 \\ 0 & für a < x ≤ 0 \\ −\frac{(x−a)^{2}}{4} & für x ≤ a \end{matrix}

für jedes a ≤ 0 eine Lösung des AWP y(0) = 0 .

Lineare DGLn. Eine DGL der Form

(lh)  y′(x) + a(x)y(x) = f (x)

nennt man eine lineare DGL erster Ordnung. Diese DGL heißt homogen, falls f ≡ 0 und inhomogen, falls f ≠ 0 . Sind y_{1}, y_{2} zwei Lösungen einer homogenen linearen Differenzialgleichung, so ist auch λ_{1}y_{1} + λ_{2}y_{2} , λ_{j} ∈ ℝ, eine Lösung.

Lösungen der homogenen linearen DGL. Ist a : I → ℝ stetig, so ist jede Lösung von (lh) von der Form

y(x) = c·e^{−A(x)} wobei A(x) = ∫ a(x) dx, c ∈ ℝ

Lösungen der inhomogenen linearen DGL. Falls a, f ∈ C^{0}(I) so ist jede Lösung von (lh) von der Form

y(x) = e^{−A(x)}· (∫_{x_{o}}^{x}e^{A(t)}f (t) dt + c)

Beweissidee: Variation der Konstanten: Ansatz y(x) = c(x)·y_{h}(x) wobei y_{h} eine nichttriviale Lösung der homogenen linearen DGL ist.

Eine Bernoulli-DGL ist eine DGL der folgenden Form:

y′(x) + a(x)y(x) = b(x)y^{α}, α ≠ 0, 1

Ansatz: Multipliziere beide Seiten mit (1 − α)y^{−α} und substituiere z(x) := y(x)^{1−α} . Dies führt auf die lineare DGL z′ + (1 − α)a(x)z = (1 − α)b(x)

Die DGL y′ = f (\frac{y(x)}{x}) geht nach der Substitution z(x) := y(x)/x in die trennbare DGL

z′ = \frac{f (z) − z}{x} über.