Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 29.06

Gewöhnliche Differenzialgleichungen.

Eine explizite/implizite Differenzialgleichung der Ordnung n ist ein Ausdruck

(∗)  y^{(n)}(x) = F(x, y(x), ... , y^{(n−1)}(x))  bzw. G(x, y(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0

wobei F : V → ℝ mit V ⊂ ℝ^{n+1} offen (bzw. G : U → ℝ mit U ⊂ ℝ^{n+2} offen) eine reellwertige Funktion ist. Eine Lösung einer DGL ist eine Funktion y : I → ℝ ( I ⊂ ℝ ein Interval) welche

• n–mal differenzierbar ist,

• die Bedingung {(x, y(x), ... , y^{(n)}(x) : x ∈ I} ⊂ U (bzw. {(x, y(x), ... , y^{(n−1)}(x) : x ∈ I} ⊂ V ) erfüllt, und • der Gleichung (∗) genügt. Eine Lösung einer DGL kann auch implizit angegeben werden als (lokale) Lösung einer impliziten Gleichung φ(x, y) = c.

Wird zusätzlich zu (∗) noch verlangt, dass die Funktion y die Bedingung

(∗∗)  y(a) = η_{0}, y′(a) = η_{1} , …, y^{(n−1)}(a) = η_{n−1} (y^{(n)}(a) = η_{n}

für ein (a, η_{0}, ... , η_{n−1}) ∈ V (bzw. (a, η_{0}, ... , η_{n}) ∈ U) erfüllt, so nennt man (∗∗) eine Anfangsbedingung (AB) und die DGL zusammen mit der AB ein Anfangswertproblem (AWP).

Grundsätzliche Fragestellungen: A) Existenz von Lösungen. Bestimmung eines maximalen Definitionsbereiches I B) Vollständigkeit der Lösungsmenge C) Eindeutigkeit von Lösungen

Spezielle DGLs erster Ordnung

Exakte Differenzialgleichungen. Eine DGL

(ed)  A(x, y) + B(x, y)y′(x) = 0

mit A, B ∈ C^{0}(U) heißt exakt falls eine Funktion φ ∈ C^{1}(U) mit A = \frac{∂φ}{∂x} und B = \frac{∂φ}{∂y} existiert.

\underline{Exaktheitstest und Existenz}: Man nehme in der obigen DGL an, dass A, B ∈ C^{1}(U)

Eine notwendige Bedingung, damit (ed) exakt ist, lautet: \frac{∂A}{∂y} = \frac{∂B}{∂x} .

Diese Bedingung ist auch hinreichend, falls zusätzlich U sternförmig ist. ( U heißt sternförmig bzgl. x ∈ U falls für jedes z ∈ U die Strecke \overline{x z} in U enthalten ist. Es gilt noch allgemeiner: U muss bloß einfach zusammenhängend sein, d.h., jede stetige geschlossene Kurve γ : [0, 1] → U läßt sich stetig innerhalb von U zu einer konstanten Punktkurve deformieren.) Ist die DGL (ed) exakt und B(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 so hat das Anfangswertproblem

A(x, y) + B(x, y)y′(x) = 0 y(x_{0}) = y_{0}

lo kal eindeutige (implizit gegebene) Lösung. Ist U sternförmig bzgl. (x_{0}, y_{0}) ∈ U so ist die Funktion φ durch das Integral

φ(x, y) = ∫_{0}^{1} (A(x_{0} + t(x − x_{0}), y_{0} + t(y − y_{0}))(x − x_{0})) + B(x_{0} + t(x − x_{0}), y_{0} + t(y − y_{0}))(y − y_{0})) dt

gegeben. (Die Formel ist besonders einfach wenn (x_{0}, y_{0}) = (0, 0).)