Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 22.06

Satz über implizite Funktionen. Es sei F : U × V → ℝ^{q} stetig differenzierbar, wobei U ⊂ ℝ^{ℓ}, V ⊂ ℝ^{q} offene Teilmengen sind. Weiterhin sei (x_{0}, y_{0}) ∈ U × V mit F(x_{0}, y_{0}) = 0 . Wenn die Matrix

\frac{∂F}{∂y}(x_{0}, y_{0}) = (\frac{∂F_{j}}{∂y_{k}}(x_{0}, y_{0}))_{{1≤j≤q \atop 1≤k≤q}}

invertierbar ist, gibt es Umgebungen U′ ⊂ U von x_{0} und V′ ⊂ V von y_{0} und genau eine stetig differenzierbare Abbildung φ : U′ → V′ mit F(x, φ(x)) = 0 für alle x ∈ U′ . Es gilt dann

Dφ_{x_{0}} = −(\frac{∂F}{∂y}(x_{0}, y_{0}))^{−1} \frac{∂F}{∂x}(x_{0}, y_{0})

In den meisten Anwendungen ist q = 1 ; es wird also eine reellwertige Funktion φ gesucht welche die Gleichung F(x_{1}, ... , x_{ℓ}, φ(x_{1}, ... , x_{ℓ})) = 0 löst. Die folgende Aussage ist eine Folgerung aus dem vorhergehenden Satz: Falls die Gleichung \frac{∂F}{∂y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 erfüllt ist existieren Umgebungen U′ ⊂ U von x_{0} und B_{ϵ}(y_{0}) ⊂ V von y_{0} sowie genau eine stetig differenzierbare reellwertige Funktion φ : U′ → B_{ϵ}(y_{0}) ⊂ ℝ mit F(x, φ(x)) = 0. Es gilt ferner

\frac{∂φ}{∂x_{j}} (x_{0}, y_{0}) = − \frac{\frac{∂F}{∂x_{j}} (x_{0}, y_{0})}{\frac{∂F}{∂y}(x_{0}, y_{0})} j = 1, .. , ℓ

Lokale Extrema. Eine auf einer offenen Menge U ⊂ E definierte Funktion f : U → ℝ hat a ∈ U ein lokales Minimum bzw. lokales Maximum falls es eine offene Kugel B_{ϵ(a)} ⊂ U um a gibt, so dass f (x) ≥ f (a) (bzw. f (x) ≤ f (a) ) für alle x ∈ B_{ϵ}(a) gilt.

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Es sei f : U → ℝ eine C^{1}–Funktion. Ist a ∈ U eine lokale Extremstelle von f so folgt Df_{a} = 0 (oder gradf (a) = 0 ). Diese Bedingung ist i.A. nicht hinreichend für ein lokales Extremum von f .

Extremstellentest mit der Hesse-Matrix Sei f : U → ℝ eine C^{2}–Funktion. Die Hesse-Matrix von f in a ∈ U is die m × m Matrix

H_{f} (a) := (\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{k}}(a))

Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass diese Matrix symmetrisch ist. Es macht also Sinn von der Signatur von H_{f} (a) zu sprechen.

Satz. Sei f : U → ℝ eine C^{2}–Funktion a ∈ U mit Df_{a} = 0. Angenommen, die Hesse-Matrix F_{f} (a) ist invertierbar. Dann gilt:

• H_{f} (a) ist positiv definit (alle Eigenwerte sind positiv) ⟹ f besitzt in a ein lokales Minimum.

• H_{f} (a) ist negativ definit (alle Eigenwerte sind negativ) ⟹ f besitzt in a ein lokales Maximum.

• H_{f} (a) hat sowohl negative als auch positive Eigenwerte ⟹ f besitzt in a \underline{kein} Extremum ( a is ein Sattelpunkt)

Spezialfälle von Berechnung der Extrema einer Funktion. Globales Maximum oder Minimum auf einer kompakten Teilmenge K : Lokale Extrema auf K^{∘} + Extrema auf Rand(K) ( K^{∘} = Menge der inneren Punkte von K = {x ∈ K : ∃ ϵ > 0 mit B_{ϵ}(x) ⊂ K}.)

Extrema mit Nebenbedingungen: Lagrange-Multiplikatorregel Seien f : U → ℝ g : U → ℝ zwei Abbildungen. Man sagt, dass f in a ein lokales Extremum (lok. Min. o. lok. Max) unter der Nebenbedingung g = 0 hat falls g(a) = 0 gilt und es eine offene Kugel B_{ϵ}(a) ⊂ U gibt, so dass f (x) ≥ f (a) (bzw. f (x) ≤ f (a) ) für alle x ∈ B_{ϵ}(a) ∩ {x ∈ U : g(x) = 0} gilt.

Satz. Es seien f, g : U → ℝ zwei C^{1}–Funktionen. Ist a ein lokales Extremum von f unter der Nebenbedingung g = 0 und gilt gradg(a) ≠ 0 , so gibt es λ ∈ ℝ (ein sog. Lagrange-Multiplikator), so dass

gradf (a) = λ · gradg(a) gilt.