Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 19.06

Höhere partielle Ableitungen. Ist eine Funktion f : U → ℝ partiell differenzierbar, so ist f_{x_{j}} := \frac{∂f}{∂x_{j}} wieder

eine ℝ–wertige Funktion U → ℝ. Also läßt sich die Frage nach der partiellen Differenzierbarkeit von \frac{∂f}{∂x_{j}}

stellen. Falls \frac{∂f}{∂x_{j}} : U → ℝ partiell, z.B. nach x_{k} differenzierbar ist, so schreibt man

\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{k}}

für diese zweite partielle Ableitung. Dieser Vorgang kann beliebig iteriert werden. Man schreibt dan für die k-te partielle Ableitung von f nach x_{j_{1}}, ... , x_{j_{k}} (abgeleitet in dieser Reihenfolge)

\frac{∂^{k}f}{∂x_{j_{1}} ⋯ ∂x_{j_{k}}}

C^{k}(U) := \{f : U → ℝ : f k–fach \underline{stetig} partiell differenzierbar\}

Die Stetigkeit der ersten partiellen Ableitungen hat die folgende Konsequenz:

Satz. Existieren alle partielle Ableitungen \frac{∂f_{j}}{∂x_{k}} und sind stetig [in x] so ist f = (f_{1}, .... , f_{n}) (total) differenzierbar [in x]. Im Allgemeinen gilt die Umkehrung nicht.

Bei höheren partiellen Ableitungen ist die Reihenfolge der Differenziation wichtig:

Beispiel. f (x_{1}, x_{2}) = \{ \begin{matrix}x_{1}x_{2} \frac{x_{1}^{2} − x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} & für (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) \end{matrix} \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}}(0, 0) = −1, \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}}(0, 0) = 1

Satz von Schwarz. Sei f ∈ C^{k}(U) . Dann hängt

\frac{∂^{k}f}{∂x_{j_{1}}∂x_{j_{2}} ⋯ ∂x_{j_{k}}}

\underline{nicht} von der Reihenfolge der partiellen Differenziation ab.

Die beiden folgenden Sätze ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Aussagen in einer Variable und der Kettenregel:

Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen. Sei f : U → ℝ (total) differenzierbar, U ⊂ ℝ^{m} offen. Liegt die Verbindungsstrecke zwischen x und x + h in U, so gilt

f (x + h) − f (x) = Df_{x+ξh}·h für ein ξ ∈ [0, 1]

Satz von Taylor. Sei f : U → ℝ , U ⊂ ℝ^{m} offen und f ∈ C^{n+1}(U). Liegt die Verbindungsstrecke zwischen x und x + h in U, so gilt

f (x + h) = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}(h_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + ⋯ + h_{m}\frac{∂}{∂x_{1}})^{k}f (x) +

+ \frac{1}{(n + 1)!} (h_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + ⋯ + h_{m}\frac{∂}{∂x_{1}})^{n+1}f (x + ξh)

= ∑_{K=0}^{n} \frac{1}{K!} ∑_{Σk_{j}=K} \binom{K}{k_{1}, ... , k_{m}}h_{1}^{k_{1}} ⋯ h_{m}^{k_{m}} \frac{∂^{K}f}{∂x_{1}^{k_{1}} ⋯ ∂x_{m}^{k_{m}}} (x)+

+ \frac{1}{(n + 1)!} ∑_{Σk_{j}=n+1} \binom{n + 1}{k_{1}, ... , k_{m}}h_{1}^{k_{1}} ⋯ h_{m}^{k_{m}} \frac{∂^{n+1}f}{∂x_{1}^{k_{1}} ⋯ ∂x_{m}^{k_{m}}} (x + ξh)

für ein geeignetes ξ ∈ [0, 1] . Hierbei ist \binom{K}{k_{1}, ... , k_{m}} = \frac{K!}{k_{1}!k_{2}! ⋯ k_{m}!} .

Insbesondere gilt für n = 2

f (x + h) = f (x) + Df_{x}·h + \frac{1}{2}h^{t}·(\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{k}}(x))·h + o(∥h∥^{2})

Implizite Funktionen sind, grob gesagt, Zuordnungen, die nicht explizit durch eine Zuordnugsvorschrift f : x ↦ y = f (x) gegeben sind, sondern implizit aus einer Gleichung f (x, y) = c bestimmt werden müssen (falls dies überhaupt möglich ist). Einige Vorbemerkungen:

Der Geschwindigkeitsvektor einer Kurve γ: γ̇(t) := ( γ′_{1}(t) ; ⋮ ; γ′_{m}(t)).

Der Gradient einer reellwertigen Funktion: gradf (x) := (Df_{x})^{T}.

Sei f : U → ℝ eine differenzierbare Funktion. Dann steht der Gradient senkrecht auf den Niveauflächen: Sei N_{c} := {x ∈ U : f (x) = c} und γ : (−r, r) → N_{c} eine beliebige differenzierbare Kurve. Die Kettenregel, angewendet auf f ∘ γ = c ergibt dann die Identität Df_{γ(t)} · γ̇(t) = 0 , d.h., gradf und γ̇ sind orthogonal bezüglich des kanonischen Skalarproduktes in ℝ^{m}.