Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 15.06

Berechnung der (totalen) Ableitung. Sei f : U → F differenzierbar in z ∈ U und Df_{z} : E → F die (totale) Ableitung. Dann exitiert der Grenzwert (Richtungsableitung) ∂_{v}f (z) für jedes v ∈ E und es gilt

∂_{v}f (z) = lim_{t→0} \frac{f (z + tv) − f (z)}{t} = Df_{z}(v)

Insbesondere, gilt für E = ℝ^{m}, F = ℝ^{n} und f = (f_{1}, ... , f_{n}) : U → ℝ^{n} die Formel

[Df_{z}]_{K_{m}}^{K_{n}} = (\frac{∂f_{j}}{∂x_{k}}(z))_{{1≤j≤n \atop 1≤k≤m}}.

Die Matrix auf der rechten Seite heißt die Jacobi-Matrix von f .

Warnung. Die Jacobi-Matrix auf der rechten Seite mag existieren (d.h., wenn die Funktionen f_{j} partiell differenzierbar sind), ohne dass f selbst (total) differenzierbar ist. Ist jedoch f total differenzierbar, so ist die Ableitung Df_{a} eindeutig bestimmt und (bezüglich der kanonischen Basen) durch die Jacobi-Matrix gegeben.

Eigenschaften. Es seien E, F normierte Vektorräume.

• Ist E endlichdimensional und f : U → F (total) in a ∈ U differenzierbar, so ist f stetig in a.

• Sind f, g : U → F, φ : U → ℝ (total) differenzierbar in a ∈ U dann sind auch αf + βg und φ·f (total) differenzierbar in a und es gilt

D(αf + βg)_{a} = αDf_{a} + βDg_{a}
D(φf)_{a} = φ(a)Df_{a} + Dφ_{a}(·) · f (a).

Kettenregel. Es seien E, E′, E′′ (endlichdimensionale) normierte Vektorräume und f : U → E′ g : U′ → E′′ differenzierbare Abbildungen mit f (U) ⊂ U′ . Dann ist g ∘ f : U → E′′ differenzierbar und es gilt

D(g ∘ f)_{a} = Dg_{f (a)} ∘ Df_{a} a ∈ U

Höhere partielle Ableitungen. Ist eine Funktion f : U → ℝ partiell differenzierbar, so ist f_{x_{j}} := \frac{∂f}{∂x_{j}} wieder

eine ℝ–wertige Funktion U → ℝ. Also kann ist die Frage nach der partiellen Differenzierbarkeit von \frac{∂f}{∂x_{j}} sinnvoll. Dieser Vorgang kann iteriert werden. So läßt sich die k-te partielle Ableitung von f nach x_{j_{1}}, ... , x_{j_{k}} definieren. Die Reihenfolge der Differenziation nach x_{j_{i}} ist wichtig!

C^{k}(U) = {f : U → ℝ : f ist k–fach stetig partiell differenzierbar}