Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 12.06

Diffierenzialrechnung in mehreren Variablen

Allgemeine Voraussetzungen: E, F sind normierte Vektorräume; in den meisten Anwendungen sind E = ℝ^{m} und F = ℝ^{n} versehen mit der euklidischen Norm ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{k}^{2}} oder der Maximumnorm ∥x∥_{∞} = max{|x_{1}|, ... , |x_{k}|}

Berührungsordnung. Sei U ⊂ E eine offene Menge und f, g : U → F zwei Abbildungen. f und g berühren sich in z ∈ U von Ordnung k ∈ ℕ falls

lim_{x→z} \frac{f (x) − g(x)}{∥x − z∥^{k}} = 0

gilt. D.h., für jedes ϵ > 0 gibt es eine Umgebung V von z (z.B. B_{δ}(z) ) so dass

∥f (x) − g(x)∥ ≤ ϵ∥x − z∥^{k} für alle x ∈ V

erfüllt ist. Man schreibt auch f (x) = g(x) + o(∥x − z∥^{k}).

Die (totale) Ableitung. Es sei U ⊂ E eine offene Menge und f : U → F eine Abbildung. Die Funktion f heißt in z ∈ U (total) differenzierbar falls eine lineare Abbildung A : E → F existiert, so dass

lim_{h→0} \frac{f (z + h) − f (z) − A(h)}{∥h∥} = 0

gilt. Die Abbildung A : E → F ist dann eindeutig bestimmt und heißt die (totale) Ableitung von f im Punkte z. Wir schreiben auch Df_{z} für A. Ander ausgedrückt: die Abbildungen x ↦ f (x) und x ↦ f (z) + A(x − z) berühren sich in x = z von Ordnung 1 .

Richtungs- und partielle Ableitungen. Sei f : U → F wie oben und v ∈ E. Dann heisst der Vektor

∂_{v}f (z) := \frac{∂f}{∂v}(z) := lim_{t→0} \frac{f (z + tv) − f (z)}{t}

die Richtungsableitung von f in z in Richtung v (falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert).

Speziell für E = ℝ^{m}, die kanonische Basisvektoren e_{1}, ... , e_{m} ∈ ℝ^{m}und f : U → ℝ nennt man die Richtungsableitung

∂_{e_{j}}f (z) = lim_{t→0} \frac{f (z + te_{j}) − f (z)}{t} = lim_{x_{j}→z_{j}} \frac{f (z_{1}, ... , z_{j−1}, x_{j}, z_{j+1} , ... , z_{m}) − f (z_{1}, ... , z_{j−1}, z_{j}, z_{j+1} , ... , z_{m})}{(x_{j} − z_{j})}

die partielle Ableitung nach x_{j} und schreibt hierfür \frac{∂f}{∂x_{j}} (z) . Falls in dem Punkt z die partielle Ableitung nach x_{j}

existiert (d.h., dass der Grenzwert auf der rechten Seite vorhanden ist) so heißt f in z nach x_{j} partiel differenzierbar. Falls alle partiellen Ableitungen nach x_{1}, ... , x_{m} existieren, so nennt man f partiell differenzierbar in z. Ist eine ℝ–wertige Funktion f in allen Punkten z ∈ U nach x_{j} partiell differenzierbar, so ist \frac{∂f}{∂x_{j}} wieder eine ℝ–wertige Funktion U → ℝ.