Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 08.06

Ein Beispiel: Es sei ϕ(x) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}(π − x) & für x ∈ [0, π] \\ \frac{1}{2}(−π − x) & für x ∈ [−π, 0) \end{matrix} .

Die Fourierreihe von ϕ ist  ∑_{k=1}^{∞} \frac{sinkt}{k}

Konvergenz im quadratischen Mittel. Wie bereits erwähnt, kann der VR C([−T/2, T/2]) der stetigen Funktionen auf dem kompaktem Interval C[−T/2, T/2] mit dem Skalarprodukt ⟨f, g⟩ = ∫ f (t) \overline{g(t)} dt ausgestattet werden, also auch mit der Norm ∥f ∥_{2} := \sqrt{⟨f, f ⟩} . Es zeigt sich, dass die ∥ ∥_{2}-Konvergenz besser geeignet ist, die Konvergenz von Fourierreihen zu beschreiben als die punktweise oder die gleichmäßige Konvergenz. Die Konvergenz bezüglich der Norm ∥ ∥_{2} nennt man auch die Konvergenz im quadratischen Mittel: ∥f_{n} − f ∥_{2} → 0 ist äquivalent zu ∫_{−T/1}^{T/2}|f_{n}(t) − t(t)|^{2} dt → 0. Der Vektorraum C([−T/2, T/2]) hat jedoch den Nachteil, dass er nicht vollständig ist, d.h., nicht jede ∥ ∥_{2}- Cauchy Folge hat einen Grenzwert in C([−T/2, T/2]) . Wir haben bereits im Zusammenhang mit den Fourierentwicklungen nicht stetige Funktionen (z.B., stückweise stetige Fkt) betrachtet. Wir nehmen einige zusätzlich ’Funktionen’ hinzu und “vergrößern” C([−T/2, T/2]) zu einem vollständigen Vektorraum, den wir H nennen. Der Vektorraume H besitzt ebenfalls ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : H × H → 𝕂, so dass C([−T/2, T/2]) ein dichter Untervektorraum von H ist und das Skalarprodukt auf C([−T/2, T/2]) die Einschränkung des Skalarproduktes von H ist. (Eine solche Vervollständigung (C([−T/2, T/2], ∥ ∥_{2}) ⊂ H existiert entweder nach dem bereits ohne Beweis zitierten abstrakten Vervollständigungssatz; H kann aber, unter Verwendung der sog. Lebesgueschen Integrale, auch explizit konstruiert werden. vgl. z.B. ... Die Elemente von H nennt man auch “ L^{2}–Funktionen”)

Sei

u_{0}(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}  u_{2k}(t) = \sqrt{\frac{2}{T}} coskωt  u_{2k−1}(t) := \sqrt{\frac{2}{T}} sinkωt  k ≥ 1

das orthonormale System (in C([−T/2, T/2] ⊂ H), bestehend aus den normierten trigonometrischen Polynomen (vgl. letzte Vorlesung). Die Fourierreihe \frac{a_{0}}{2} +∑_{k=1}^{∞}(a_{k}cos(kωt)+b_{k}sin(kωt)) einer Funktion f ∈ C([−T/2, T/2]) (oder f ∈ H) und deren Partialsummen, d.h. Fourierpolynome vom Grad N , können dann unter Ausnutzung der Orthonormalität von (u_{m})_{m∈ℕ} elegent als

∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩ u_{m} bzw,  ∑_{m=0}^{2N}⟨f, u_{m}⟩ u_{m}

geschrieben werden. (Zum Vergleich ⟨f, u_{2k}⟩ = a_{k}\sqrt{T/2} und ⟨f, u_{2k−1}⟩ = b_{k}\sqrt{T/2}.) Bezüglich der Norm ∥ ∥_{2} hat das Fourierpolynom vom Grad N einer jeden Funktion f ∈ H (und zwar unabhängig davon ob f stückweise differenzierbar ist oder nicht) die folgende Interpretation:

Minimaler Abstand: Das N–te Fourierpolynom P_{f} (t) := ∑_{m=0}^{2N}⟨f, u_{m}⟩ u_{m} von f hat unter allen trigonometrischen Polynomen ∑_{m=0}^{2N} γ_{m}u_{m}(t) vom Grad ≤ N den minimalen Abstand zu f , d.h.

∥f − P_{f} ∥_{2} ≤ ∥f − P∥_{2} für alle P = ∑_{m=0}^{2N} γ_{m}u_{m}(t)

Beweis: Sei P(t) = ∑_{m=0}^{2N} γ_{m}u_{m}(t) ein reelles trigonometrisches Polynom. Dann gilt

∥f − P∥^{2} = ⟨f − P, f − P⟩ = ⟨f, f ⟩ − 2⟨f, P⟩ + ⟨P, P⟩ =

= ∥f ∥^{2} − 2⟨f, ∑_{m=0}^{2N}γ_{m}u_{m}⟩ + ⟨ ∑_{m=0}^{2N}γ_{m}u_{m}, ∑_{m=0}^{2N}γ_{m}u_{m}⟩ =

= ∥f ∥^{2} − 2 ∑_{m=0}^{2N}γ_{m}⟨f, u_{m}⟩ + ∑_{m,n=0}^{2N}γ_{m}γ_{n}⟨u_{m}, u_{n}⟩ =

= ∥f ∥^{2} − ∑_{m=0}^{2N}2γ_{m}⟨f, u_{m}⟩ + ∑_{m=0}^{2N}γ_{m}^{2} =

= ∥f ∥^{2} − ∑_{m=0}^{2N}⟨f, u_{m}⟩^{2} + ∑_{m=0}^{2N}(γ_{m}− ⟨f, u_{m}⟩)^{2}

und daher ist ∥f − P∥ genau dann minimal wenn γ_{m} = ⟨f, u_{m}⟩ für alle m = 0, 1, ... , 2N gilt. ⊓ ⊔ Aus den Gleichungen in den obigen Beweis folgt:

Besselsche Gleichung.  ∥f − ∑_{m=0}^{k}⟨f, u_{m}⟩u_{m}∥_{2}^{2} = ∥f ∥_{2}^{2} − ∑_{m=0}^{k}|⟨f, u_{m}⟩|^{2}

Insbesondere folgt aus der obigen Gleichung die Ungleichung ∑_{m=0}^{k} |⟨f, u_{m}⟩|^{2} ≤ ∑_{m=0}^{∞} |⟨f, u_{m}⟩|^{2} ≤ ∥f ∥_{2}^{2}. Diese sog. Besselsche Ungleichung erlaubt einen Rückschluss auf das Summationsverhalten der Fourierkoeffizienten: Da die Summen

∑_{m=0}^{2N}|⟨f, u_{m}⟩|^{2} = T( \frac{1}{2}a_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{N}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) )

durch ∥f ∥^{2} von oben beschränkt sind, konvergiert ∑_{m=0}^{∞} |⟨f, u_{m}⟩|^{2} absolut. Insbesondere lim_{k→∞}a_{k} = lim_{k→∞}b_{k} = lim_{k→∞}⟨f, u_{m}⟩ = 0 und natürlich für jedes ϵ > 0 gibt es ein K , so dass für alle m, n ≥ K

(⋆)  ∑_{k=m}^{n}|⟨f, u_{m}⟩|^{2} < ϵ

Dieses technisches Resultat benötigen wir in dem Beweis des Hauptsatzes.

Wir nähern uns der Antwort eines zentralen Problems der Fouriertheorie: Konvergenz der Fourierreihe ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩u_{m} von f . Es gilt nämlich der

Hauptsatz der Fouriertheorie. Die Fourierreihe ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩u_{m} jeder ’Funktion’ f ∈ H konvergiert im quadratischen Mittel gegen f , d.h.

lim_{N→∞} ∥f − ∑_{m=0}^{N}⟨f, u_{m}⟩u_{m}∥_{2} = 0  und  ∥f ∥_{2}^{2} = ∑_{m=0}^{∞}|⟨f, u_{m}⟩|^{2}

Beweisskizze. Zunächstmal zeigt man, dass die Folge der Partialsummen S_{N} = ∑_{m=0}^{N}⟨f, u_{m}⟩u_{m} in H konvergiert: Dazu zeigt man, dass (S_{N}) eine Cauchy-Folge ist:

∥ ∑_{m=k}^{ℓ}⟨f, u_{m}⟩u_{m}∥^{2} = ∑_{m=k}^{ℓ}∥⟨f, u_{m}⟩u_{m}∥^{2} = ∑_{m=k}^{ℓ}⟨f, u_{m}⟩^{2} < ϵ

wenn nur k, ℓ ≥ K , vergleiche (⋆) . An dieser Stelle braucht man die Vollständigkeit von H: Die Cauchy-Folge S_{N} = ∑_{m=0}^{N}⟨f, u_{m}⟩u_{m} konvergiert gegen ein Element s ∈ H. Damit ist bewiesen, dass die Fourierreihe im quadratischen Mittel gegen eine ’Funktion’ in H konvergiert. Natürlich würde man geren wissen, ob f und s übereinstimmen: Aus der Konstruktion von s folgert man

⟨f − s, u_{k}⟩ = 0 für alle u_{k}

d.h., f − s ist orthogonal zu allen trigonometrischen Polynomen u_{k}(t) . Die entscheidende und nicht trivial zu beweisende Eigenschaft der orthonormalen Folge u_{k} ist, dass (u_{k})_{k∈ℕ} bereits \underline{maximal} ist, d.h.: (⋆⋆) Gilt für ein Element ψ ∈ H ⟨ψ, u_{k}⟩ = 0 für alle k = 0, 1, ... dann muss ψ = 0 sein Akzeptiert man (⋆⋆) , so folgt aus dem Obigen, dass s = f ist und damit ist die erste Aussage des Hauptsatzes bewiesen. Die letzte Gleichung ist eine unmittelbare Konsequenz der ersten Aussage: Da jetzt f = ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩u_{m} in dem normierten Vektorraum (H, ∥ ∥_{2}) gilt, so berechnet man unter Verwendung der Orthonormalität von (u_{m}) :

∥f ∥^{2} = ⟨ ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩u_{m} , ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩u_{m}⟩ = ∑_{m=0}^{∞}⟨f, u_{m}⟩^{2} = ∑_{m=0}^{∞}|⟨f, u_{m}⟩|^{2}