Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 05.06

Orthogonalitätsrelationen.

∫_{−T/2}^{T/2}cos^{2} kωt dt = ∫_{−T/2}^{T/2}sin^{2} kωt dt = \frac{T}{2}

∫_{−T/2}^{T/2}coskωt cosmωt dt = ∫_{−T/2}^{T/2}sinkωt sinmωt dt = 0 m ≠ k

∫_{−T/2}^{T/2}coskωt sinmωt dt = 0

∫_{−T/2}^{T/2}e^{ikωt}\overline{e^{imωt}} dt = ∫_{−T/2}^{T/2}e^{ikωt}e^{−imωt} dt = \{ \begin{matrix}T & if k = m \\ 0 & if k ≠ m \end{matrix}

Also bildet die Familie

u_{0}(t) := \frac{1}{\sqrt{T}}  u_{2k}(t) := \sqrt{\frac{2}{T}} coskωt  u_{2k−1}(t) := \sqrt{\frac{2}{T}} sinkωt  k ≥ 1
bzw.  ψ_{k}(t) : = \sqrt{\frac{1}{T}} e^{ikωt}

ein orthonormales System in dem euklidischen/Hermiteschen Vektorraum

H := C([−T/2, T/2]) ⟨f, g⟩ := ∫_{−T/2}^{T/2}f (t)\overline{g(t)}dt

Angenommen S_{N}(t) = \frac{a_{0}}{2}+∑_{k=1}^{N}(a_{k}cos(kωt)+b_{k}sin(kωt)) konvergiert gleichmäßig gegen s : [−T/2, T/2] → ℝ. Dann gilt

a_{k} = lim_{N→∞} \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}S_{N}(t) coskωt dt = \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}s(t) coskωt dt

b_{k} = lim_{N→∞} \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}S_{N}(t) sinkωt dt = \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}s(t) sinkωt dt

a_{0} = \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}s(t) dt

Das obige Resultat motiviert die folgende Definition: Gegeben sei eine Funktion f : [−T/2, T/2] → 𝕂. Dann heißt \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}cos(kωt) + b_{k}sin(kωt)) die Fourierreihe von f falls die Koeffizienten die Bedingungen

a_{k} = \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}f (t) coskωt dt b_{k} = \frac{2}{T} ∫_{−T/2}^{T/2}f (t) sinkωt dt

erfüllen. BEM. Die obigen Integrale ändern sich nicht wenn man die Funktion f in endlich vielen Punkten beliebig abändert.

In welchem Sinn konvergiert eine Fourierreihe von f ? \underline{Vorbereitung}: Nur für Funktionen, die in gewissem Sinn ’regulär’ sind, konvergiert die ensprechende Fourierreihe punkweise oder gleichmäßig. Diese Bedingungen sind etwas technischer Natur: Eine Funktion f : [−T/2, T/2] → 𝕂 heißt stückweise stetig falls eine Zerlegung −T/2 = ξ_{0} < ξ_{1} < ⋯ < ξ_{m} = T/2 von [−T/2, T/2] existiert, so dass alle Einschränkungen f |(ξ_{k}, ξ_{k+1}), k = 0, ... , m − 1 , stetig sind und sich stetig auf die entsprechende abgeschlossene Intervalle [ξ_{k}, ξ_{k+1}] fortsetzten lassen (d.h., lim_{y↘ξ_{k}}(f (y)) und lim_{y↗ξ_{k+1}}(f (y)) existieren). Eine Funktion f : [−T/2, T/2] → 𝕂 heißt stückweise stetig differenzierbar falls es eine Zerlegung −T/2 = ξ_{0} < ξ_{1} < ⋯ < ξ_{m} = T/2 gibt, so dass alle Einschränkungen f |(ξ_{k}, ξ_{k+1}) stetig differenzierbar sind und die Ableitungen f′|(ξ_{k}, ξ_{k+1}) sich stetig auf die entsprechende abgeschlossese Intervalle [ξ_{k}, ξ_{k+1}] fortsetzten lassen. Ohne Beweis notieren wir:

Dirichletsche Regel (punktweise Konvergenz). Sei f : [−T/2, T/2] → 𝕂 eine stückweise stetig differenzierbare Funktion, die wir periodisch auf ℝ fortgesetzt denken. Dann konvergiert ihre Fourierreihe in x ∈ [−T/2, T/2] gegen

s(x) = \frac{f (x+) + f (x−)}{2}

wobei f (x+) := lim_{y↘x}f (y) und f (x−) := lim_{y↗x}f (y) .

Gleichmäßige Konvergenz. Sei f : [−T/2, T/2] → 𝕂 stückweise stetig differenzierbar und zusätzlich stetig auf (a, b) . Dann konvergiert die Fourierreihe von f auf jedem kompakten Teilintervall von (a, b) gleichmäßig gegen f .

Ein Beispiel: Es sei ϕ(x) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}(π − x) & für x ∈ [0, π] \\ \frac{1}{2}(−π − x) & für x ∈ [−π, 0) \end{matrix} .

Die Fourierreihe von ϕ ist  ∑_{k=1}^{∞} \frac{sinkt}{k}