Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 01.06

Taylor-Formel. Sei f : (c − r, c + r) → ℝ (k + 1)-mal differenzierbar. Dann gilt für x ∈ (c − r, c + r) :

f (x) = f (c) + \frac{f′(c)}{1!} (x − c) + \frac{f′′(c)}{2!} (x − c)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x − c)^{n} + R_{f}^{n+1}(x, c)

wobei

R_{f}^{n+1}(x, c)= \frac{f^{n+1}(ξ)}{(n + 1)!} (x − c)^{n+1} \{ \begin{matrix}c < ξ < x & falls x > c \\ x < ξ < c & falls x < c \end{matrix} (Lagrange)

= ∫_{c}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x − t)^{n} dt (Cauchy)

Meist braucht man nur die Abschätzung: |R_{f}^{n+1}(x, c)| ≤ \frac{M·|x − c|^{n+1}}{(n + 1)!} mit

M = sup{|f^{(n+1)}(ξ)| : ξ zwischen x und c }

Extremwerte-Test. Sei f ∈ C^{k}(a, b) (d.h., f : (a, b) → ℝ is k–fach differenzierbar und die k–te Ableitung ist stetig) und c ∈ (a, b) mit

f′(c) = ⋯ = f^{(k−1)}(c) = 0 , f^{(k)}(c) ≠ 0 .

Dann gilt:

(i) k gerade, f^{(k)}(c) < 0 ⟹ f (c) ist ein lokales Maximum von f (ii) k gerade, f^{(k)}(c) > 0 ⟹ f (c) ist ein lokales Minimum von f (iii) k ungerade ⟹ f (c) ist \underline{kein} lokales Extremum

Methoden der Reihenentwicklung

• Taylorreihe + Abschätzung des Restgliedes R_{f}^{n}(x, c)

• Bekannte Reihen differenzieren und integrieren.

• Algebraische Kombination von bekannten Reihenentwicklungen.

• Reihen in Reihen einsetzen.

Fourierreihen, Fourierpolynome. Ein (reelles) Fourierpolynom auf dem Interval [−T/2, T/2] ein Ausdruck

S_{N}(t) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{N}(a_{k}cos(kωt) + b_{k}sin(kωt)) ω := \frac{2π}{T}

komplexe Version:  ∑_{k=−N}^{N} c_{k}e^{iωkt}

Eine ree lle Fourierreihe ist ein Ausdruck

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}cos(kωt) + b_{k}sin(kωt))

komplexe Version:  ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{iωkt}