Prof. Dr. Gregor Fels, Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 29.05

Konvergenzradius. Für jede Potenzreihe gibt es eine reelle Zahl R ≥ 0 , genannt der Konvergenzradius von ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{o})^{n}, so dass

• Für jedes w ∈ 𝕂 mit |w − z_{o}| > R ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(w − z_{o})^{n} divergent.

• Für jedes w ∈ 𝕂 mit |w − z_{o}| < R konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(w − z_{o})^{n} absolut.

• Gegeben ein r, schreibe a_{n}(z − z_{o})^{n}|_{\overline{B}_{r}} für die Funktionen \overline{B}_{r}(z_{o}) → 𝕂, z ↦ a_{n}(z − z_{o})^{n}. Für jedes r < R

konvergiert die Folge der Partialsummen ∑_{n=0}^{N}a_{n}(z − z_{o})^{n}|_{\overline{B}_{r}} gleichmäßig (gegen eine stetige Funktion φ : \overline{B}_{r}(z_{o}) → 𝕂)

Wir schreiben dann φ(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{o})^{n} für die durch die Reihe definierte stetige Funktion auf B_{R}(z_{o}) . Es läßt sich keine \underline{allgemeine} Aussage über die Konvergenz in den Punkten z mit |z − z_{o}| = R machen. Es gilt aber der Abelsche Grenzwertsatz: Konvergiert f (z) := ∑ a_{n}(z − z_{0})^{n} in z mit |z − z_{o}| = R, so gilt lim_{t↗1}f (t(z − z_{o}) + z_{o}) = f (z) , ( t ∈ ℝ_{>0} ).

Berechnung des Konvergenzradius. Sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{o})^{n} eine Potenzreihe und R deren Konvergenzradius. Dann gilt

R = \frac{1}{lim sup ^{n} \sqrt{|a_{n}|}} = \frac{1}{lim_{n→∞}(sup\{ ^{k} \sqrt{|a_{k}|} : k ≥ n\})}

( R = 0 falls lim sup ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = ∞ und R = ∞ falls lim sup ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = 0 )

Die folgenden Formeln sind oft nützlich bei der Berechnung des Konvergenzradius:

• Gilt a_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N für ein N ∈ ℕ und existiert lim \frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} so gilt R = lim_{n→∞} \frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} .

• R = sup{r ≥ 0 : die Folge (|a_{k}|r^{k})_{k∈ℕ} ist beschränkt }

Identitätssatz. Seien f (z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{o})^{n}, g(z) := ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − z_{o})^{n} zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R_{a} und R_{b}. Sei weiter (p_{n}) eine Folge aus B_{r}(z_{o}) ∖ {z_{o}}, r ≤ min{R_{a}, R_{b}}, so dass limp_{n} = z_{o} . Angenommen f (p_{k}) = g(p_{k}) für alle k ∈ ℕ. Dann folgt a_{j} = b_{j} für alle j und f (z) = g(z) für alle z ∈ B_{R_{a}}(z_{o}) .

Ableitung und Integration von Potenzreihen. Sei ∑ a_{n}z^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 und f : B_{R}(0) → 𝕂 die durch die Reihe definierte stetige Funktion. Dann

• f′(z) = ∑(a_{n}z^{n})′ = ∑(m + 1)a_{m+1}z^{m}, und der Konvergenzradius der Reihe ∑(m + 1)a_{m}z^{m} ist gleich R. Insbesondere ist f unendlich oft differenzierbar.

• ∫_{0}^{y}f (z) dz = ∑_{n=0}^{∞}∫_{0}^{y}(a_{n}z^{n}) dz = ∑_{m=0}^{∞} \frac{a_{m}z^{m+1}}{m + 1} y ∈ B_{R}(z_{o})

Taylor-Reihen. Sei I = (a, b) ⊂ ℝ und f : I → ℝ eine ∞–oft differenzierbare Funktion und c ∈ I . Dann heißt

∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x − c)^{k} =: T_{f} (x)

die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt c. Das Polynom ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x − c)^{k} heißt das Taylor-Polynom (von f ) vom Grad n. I.a., konvergiert die T-Reihe nicht (d.h. R = 0 ). Auch wenn die Taylorreihe von f konvergiert, so müssen die Funktionen T_{f} (x) und f (x) nicht in einer Umgebung von c übereinstimmen.