Prof. Dr. Gregor Fels, Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 25.05

Sei V ein 𝕂–Vektorraum ( 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ). Eine Norm auf V ist eine Funktion ∥ ∥ : V → ℝ_{≥0} , die die folgende Bedingungen erfüllt: N1. ∥v∥ = 0 impliziert v = 0 N2. ∥λv∥ = |λ|·∥v∥ für alle v ∈ V und λ ∈ 𝕂 N3. Dreiecksungleichung ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ ∀ v, w ∈ V

(V, ∥ ∥) heißt dann ein normierter Vektorraum. Eine Funktion ν : V → ℝ_{≥0} die nur (N2) und (N3) erfüllt, heißt eine Seminorm auf V .

Hauptbeispiele:

(a) V = 𝕂 ∥z∥ = |z|

(b) V = 𝕂^{n}, ∥z∥ = |z_{1}| + ⋯ + |z_{n}|

(c) V = 𝕂^{n}, ∥z∥ = \sqrt{|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{n}|^{2}}

(d) V = 𝕂^{n}, ∥z∥ = max{|z_{1}|, ... , |z_{n}|}

(e) V = C_{b}(X) VR der beschränkten stetigen Funktionen auf X, ∥f ∥ := ∥f ∥_{X} = sup{|f (x)| : x ∈ X}

Die Menge B_{r}(z) = {v ∈ V : ∥v − z∥ < r} heißt die offene Kugel mit Radius r > 0 und Mittelpunkt z. \overline{B}_{r}(z) = \{v ∈ V : ∥v − z∥ ≤ r\} heißt die abgeschlossene Kugel mit Radius r > 0 und Mittelpunkt z.

Eine Teilmenge U ⊂ V heißt offen, wenn für jedes z ∈ U eine offene Kugel B_{r}(z) existiert, so dass B_{r}(z) ⊂ U gilt. Eine offene Umgebung eines Punktes z ∈ V nennt man eine beliebige offene Teilmenge, die z enthält.

Def. der Konvergenz: Eine Folge (v_{n}) in V konvergiert gegen w ∈ V genau dann wenn ∥v_{n} − w∥ gegen 0 konvergiert. Anders ausgedrückt: Für jedes ϵ > 0 gibt es ein N_{ϵ} ∈ ℕ so dass v_{n} ∈ B_{ϵ}(w) für alle n ≥ N_{ϵ}.

Sei X ⊂ V eine beliebige Teilmenge. Dann heißt f : X → 𝕂 stetig [in y] die Gleichung falls für jede in X konvergente Folge (x_{n}) [mit limx_{n} = y],

lim_{n→∞}f (x_{n}) = f ( lim_{n→∞}x_{n}) [ = f (y) ]

erfüllt ist.

BEM.: Die Normfunktion ∥ ∥ : V → ℝ ist stetig. Jede polynomiale Funktion P : 𝕂 → 𝕂 ist stetig.

Eine Teilmenge A ⊂ V heißt abgeschlossen, wenn V ∖ A offen ist. Eine Teilmenge A ⊂ V ist genau dann abgeschlossen wenn sie die folgende Eigeschaft hat:

Der Grenzwert v = lim_{n→∞}a_{n} ∈ V jeder konvergenten Folge (a_{n}) aus A ist ein Element in A.

Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen. Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

Eine Teilmenge K ⊂ V heißt kompakt, wenn jede Folge (k_{n}) von Elementen aus K eine konvergente Teilfolge (k_{n_{ℓ}}) besitzt, so dass x = lim_{ℓ→∞}k_{n_{ℓ}} ∈ K gilt.

Anwendung: Sei K ⊂ V kompakt und f : K → 𝕂 eine stetige Fkt. Dann ist f beschränkt, d.h., es gibt eine Konstante C > 0 mit |f (x)| ≤ C für alle x ∈ K.

Eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} von Elementen aus (V, ∥ ∥) heißt Cauchy-Folge falls für jedes (noch so kleines) ϵ > 0 ein N = N_{ϵ} existiert so dass ∥x_{n} − x_{m}∥ < ϵ für alle n, m ≥ N gilt.

Ein normierter Vektorraum (V, ∥ ∥) , der noch zusätzlich vollständig ist, d.h., dass jede Cauchy-Folge (v_{n}) aus V gegen ein v ∈ V konvergiert, heißt ein Banach Raum.

Der Abschluss \overline{M} einer Menge M ⊂ V ist die kleinste abgeschlossene Menge A ⊂ V , die M enthält. Die Menge \overline{M} ist die Menge der Häufungspunkte von M, d.h., \overline{M} = \{z ∈ V : ∃ (v_{n}), v_{n} ∈ M mit z = lim_{n→∞}v_{n}\}.

M heißt dicht in V falls \overline{M} = V gilt. Z.B. Q ⊂ ℝ und \overline{Q} = ℝ.

Für die Entwicklung in eine Fourierreihe ist die folgende Existenzaussage hilfreich: Vervollständigung. Für jeden normierten Vektorraum (V, ∥ ∥) existiert ein vollständiger normierter Vektorraum (V̂, ∥ ∥^{∧}) und eine lineare injektive Abbildung ı : V ↪ V̂, so dass \overline{ı(V)}= V̂, ∥ı(u)∥^{∧} = ∥u∥ für alle u ∈ V . Alle Beispiele (a)-(e) sind Banachräume (d.h. vollständig).

Der Vektorraum V = C([a, b]) (VR der stetigen Funktionen auf dem Interval [a, b] ) mit der Norm ∥f ∥ := \sqrt{∫_{a}^{b}|f (t)|^{2} dt} ist ein normierter VR, der \underline{nicht} vollständig ist.

Prof. Dr. Gregor Fels, Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 25.05 Potenzreihen (in einer Variable) sind unendliche Reihen der Form ∑_{n=0}^{∞}a_{n}(z − z_{o})^{n} mit a_{n} ∈ 𝕂. Solche Reihen können sowohl als Reihen von Zahlen (d.h. für feste z ∈ 𝕂) als auch als Reihen von (polynomialen) Funktionen z ↦ a_{n}(z − z_{o})^{n} betrachtet werden. Hierbei heißt z_{o} der Mittelpunkt der Reihenentwicklung. O.B.d.A. z_{o} = 0

KonvergenzMenge(∑_{n=0}^{∞}a_{n}z^{n}) = {z ∈ 𝕂 : ∑_{n=0}^{∞}a_{n}z^{n} konvergiert}

Sei w ∈ 𝕂, so dass ∑_{n=0}^{∞} a_{n}w^{n} konvergiert. Dann konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}| für jedes z ∈ 𝕂 mit |z| < |w|.