Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 13. August 2007

Mathe II

6. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Konvergenz

(a) Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge im normierten Raum V und (x_{k})_{k∈ℕ} eine Teilfolge von (x_{n})_{n∈ℕ}. Konvergiert auch die Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}?

(b) Es sei sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge im normierten Raum V mit konvergenter Teilfolge (x_{k})_{k∈ℕ}. Konvergiert dann auch die Folge (x_{n})_{n∈ℕ}?

Lösung:

(a) Da die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in V konvergiert, gibt es einen Punkt x ∈ V (den Grenzwert), so daß folgendes gilt: Für alle ϵ > 0 exisiert ein N_{ϵ} mit ∥x_{n} − x∥ < ϵ für alle n > N_{ϵ}. Dies gilt auch für n_{k} > N_{ϵ}. Somit exisiert ein K_{ϵ} ∈ ℕ mit n_{k} > N_{ϵ} für alle k > K_{ϵ}. Es folgt ∥x_{n_{k}} − x∥ < ϵ für alle k > K_{ϵ}, d.h. die Teilfolge (x_{k})_{k∈ℕ} konvergiert auch gegen x.

(b) Nein, wie das Gegenbeispiel x_{n} = (−1)^{n} mit der Teilfolge x_{2n} zeigt.

(G 2) Normen

Es sei ∥·∥_{p} : ℝ^{n} → ℝ die durch ∥x⃗∥_{p} = \sqrt[p]{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}} gegebene p-Norm (p ≥ 1). Für p = ∞ setzt man ∥x⃗∥_{∞} = max_{1≤i≤n}{|x_{i}|}.

(a) Skizziere die Einheitskugeln bezüglich der 1-Norm, der 2-Norm und der Norm ∥ · ∥_{∞}.

(b) Beweisen Sie, daß die obigen 3 Normen äquivalent sind.

Lösung:

(a)

(b) Es gilt ∥x⃗∥_{p} = \sqrt[p]{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}} ≤ \sqrt[p]{∑_{i=1}^{n} ∥x⃗∥_{∞}^{p}} ≤ \sqrt[p]{n}∥x⃗∥_{∞} und ∥x⃗∥_{∞}^{p} ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} bzw. ∥x⃗∥_{∞} ≤ ∥x⃗∥_{p}. Somit sind alle p-Normen zur Maximumsnorm äquivalent. Insbesondere sind damit auch alle p-Normen äquivalent.

(G 3)

Wir betrachten die Potenzreihe ∑_{n} x^{n}.

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius.

(b) Konvergiert die Reihe punktweise auf dem Intervall [0, 1]? Konvergiert sie dort gleichmäßig?

(c) Konvergiert die Reihe punktweise auf dem Intervall [0, \frac{1}{2}]? Konvergiert sie dort gleichmäßig?

Lösung:

(a) R = 1.

(b) Da die Reihe für x = 1 divergiert, konvergiert sie auf dem Intervall [0, 1] weder punktweise noch gleichmäßig.

(c) Die geometrische Reihe hat auf dem offenen Intervall (−1, 1) die Funktion \frac{1}{1−x} als Grenzwert. Da die Reihe für x = \frac{3}{4} > \frac{1}{2} absolut konvergiert, Es gilt

|∑_{n=0}^{N} x^{n} − \frac{1}{1 − x}| = |∑_{n=N}^{∞} x^{n}| ≤ ∑_{n=N}^{∞} (\frac{3}{4})^{n} .

Da die Reihe für x = \frac{3}{4} > \frac{1}{2} absolut konvergiert, konvergiert sie auf dem Intervall [0, \frac{1}{2}] sogar gleichmäßig (und somit auch punktweise).

(G 4) Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Bestimmen Sie für die Funktionenfolgen (f_{k})_{k∈ℕ} und (g_{k})_{k∈ℕ} jeweils den Grenzwert bezüglich punktweiser Konvergenz und entscheiden Sie, ob sie gleichmäßig konvergieren:

(a) f_{k}: ℝ → ℝ, x ↦ \sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} (b) g_{k}: ℝ → ℝ, x ↦ ∑_{j=0}^{k} \frac{1}{j!}x^{j}

Lösung:

(a) Der punktweise Limes der Funktionenfolge (f_{n})_{n} kann wie folgt bestimmt werden:

lim_{k→∞} \sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} = \sqrt{x^{2}} = |x|.

Als Grenzwert erhalten wir also die Funktion f: ℝ → ℝ, f(x) = |x|. Nun schätzen wir den Abstand von |f_{k}(x) − f(x)| unabhängig von x von oben ab und zeigen so, daß die Folge auch gleichmäßig gegen f konvergiert:

|\sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} − \sqrt{x^{2}}| = |\frac{(\sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} − \sqrt{x^{2}}) · (\sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} + \sqrt{x^{2}})}{(\sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} + \sqrt{x^{2}})}|

= |\frac{x^{2} + \frac{1}{k} − x^{2}}{(\sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} + \sqrt{x^{2}})}| ≤ \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k}}} = \frac{1}{\sqrt{k}} .

Sei also ε > 0. Wir müssen zeigen, daß es ein N gibt, so daß |f_{k}(x) − f(x)| < ε für alle k > N. Da aber lim_{k→∞} \frac{1}{\sqrt{k}} = 0, existiert ein N mit \frac{1}{\sqrt{N}} < ε, also gilt |f_{k}(x)−f(x)| < ε für alle k > N.

(b) Der Grenzwert der zweiten Folge entspricht gerade der Exponentialfunktion:

lim_{k→∞} g_{k} = lim_{k→∞} ∑_{j=0}^{k} \frac{1}{j!}x^{j} = e^{x}.

Diese Folge ist nicht gleichmäßig konvergent auf ℝ. Wieder betrachten wir |g_{k}(x) − g(x)|, nur schätzen wir es diesmal von unten ab: Sei x > 0. Dann gilt

|e^{x} − ∑_{j=0}^{k} \frac{1}{j!}x^{j}| = | ∑_{j=k+1}^{k} \frac{1}{j!}x^{j}| = ∑_{j=k+1}^{k} \frac{1}{j!}x^{j} ≥ \frac{1}{(k + 1)!}x^{k+1}.

Für x = \sqrt[k+1]{(k + 1)!} gilt also |e^{x} − h_{k}(x)| ≥ 1, d.h. für ε = \frac{1}{2} gibt es kein k ∈ ℕ so daß |e^{x} − h_{k}(x)| ≤ ε für alle x ∈ ℝ.

(G 5) Punktweise/Gleichmäßige Konvergenz Wir betrachten eine Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ}:

f_{n} : ℝ → ℝ, f_{n}(x) := \{ \begin{matrix}x − n & falls & n ≤ x ≤ n + 1 \\ n + 2 − x & falls & n + 1 ≤ x ≤ n + 2 \\ 0 & sonst \end{matrix}

(a) Skizzieren Sie die ersten Folgeglieder.

(b) Konvergiert die Folge f_{n} punktweise oder sogar gleichmäßig?

Lösung:

(a)

(b) Die Folge konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion: Für alle x ∈ ℝ gibt es eine natürliche Zahl N > x; es folgt f_{k}(x) = 0 für alle k > N. Da ∥f_{n}∥_{∞} = 1 für alle n ∈ ℕ aber ∥0∥_{∞} = 0 gilt, kann die Folge f_{n} nicht gegen die Nullfolge konvergieren.

Hausübungen

(A 17) Funktionenräume (10 Punkte) Es seien a, b ∈ ℝ reelle Zahlen, so daß a < b gilt. Auf dem Vektorraum C([a, b], ℝ) der stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] definieren wir eine Abbildung ∥·∥_{∞} : C([a, b], ℝ) → ℝ durch ∥f∥_{∞} = sup{|f(x)| | x ∈ [a, b]}.

(a) Warum existiert das Supremum in obiger Definition?

(b) Zeigen Sie, daß ∥ · ∥_{∞} eine Norm ist.

(c) Es sei P die Menge aller Polynomfunktionen auf [a, b]. Ist P ein Untervektorraum von C([a, b], ℝ)?

(d) Beweisen Sie, daß die Einschränkung exp |_{[a,b]} nicht in P liegt.

(e) Ist P abgeschlossen in C([a, b], ℝ)?

Hinweis: Benutze (d)

Lösung:

(a) Weil stetige Funktionen auf abgeschlossenen beschränkten (=kompakten) Mengen ihr Maximum annehmen. Man hätte hier also auch max statt sup schreiben dürfen.

(b) Siehe Vorlesung Analysis I.

(c) Ja, natürlich.

(d) Da es für jedes Polynom f eine höhere Ableitung f^{n)} gibt, welche die Nullfunktion ist, aber exp′ = exp gilt, kann die Exponentialfunktion auf keinem Intervall [a, b] mit a < b mit einem Polynom übereinstimmen.

(e) Da exp |_{[a,b]} ein Grenzwert einer Folge von Polynomfunktionen (nämlich der Partialsummen) ist, welcher nicht in P liegt, kann P nicht abgeschlossen sein.

(A 18) (10 Punkte)

(a) Gegeben sei die Potenzreihe

∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}n2^{n} · (x − 2)^{n} .

(i) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.

(ii) Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Potenzreihe konvergiert.

(b) Zeigen Sie, daß die folgende Funktionenreihe

∑_{n=0}^{∞} [x^{n}(1 − x)] , x ∈ ℝ,

auf dem Intervall [0, 1] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Lösung:

(a) (i) Berechnung des Konvergenzradius R:

\frac{1}{R} = lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|(−1)^{n}n2^{n}|} = lim sup_{n→∞} \underbrace{\sqrt[n]{n}}_{⟶^{n→∞}1} \sqrt[n]{2^{n}} = 1 · 2

Wir erhalten R = \frac{1}{2}.

(ii) Aus Aufgabenteil (i) folgt, daß die Potenzreihe für x ∈ (2− \frac{1}{2}, 2+ \frac{1}{2}) konvergiert. Untersuchung der Randstelle x = 1.5:

∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} · 2^{n} · n · (1.5 − 2)^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} · 2^{n} · n · (−\frac{1}{2})^{n} = ∑_{n=0}^{∞} n

existiert nicht. Randstelle x = 2.5:

∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} · 2^{n} · n · (2.5 − 2)^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} · 2^{n} · n · (\frac{1}{2})^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}n

existiert nicht.

Fazit: Die Potenzreihe konvergiert nur für x ∈ (1.5, 2.5).

(b) Für x < 1 ist ∑_{n=0}^{∞} x^{n} · (1 − x) = (1 − x) ∑_{n=0}^{∞} x^{n} = (1 − x) · \frac{1}{1−x} = 1 (geometrische Reihe). Für x = 1 erhalten wir ∑_{n=0}^{∞} 1^{n} · (1 − 1) = 0. Die Reihe konvergiert demnach punktweise gegen die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls x < 1, \\ 0 & falls x = 1. \end{matrix}

Die Konvergenz kann nicht gleichmäßig sein, da die Grenzfunktion unstetig ist. (vgl. Satz über gleichmäßige Konvergenz stetiger Funktionen.)

(A 19) Punktweise/Gleichmäßige Konvergenz (10 Punkte)

Wir betrachten die Funktionenreihe

∑_{n=1}^{∞} f_{n} mit f_{n}(x) = \frac{x^{n−1}}{n} .

(a) Zeigen Sie, dass diese Reihe für alle x ∈ (−1, 1) konvergiert.

(b) Beweisen Sie, dass für jedes λ ∈ (0, 1) die Konvergenz auf dem Intervall [−λ, λ] sogar gleichmäßig ist.

Lösung:

(a) Wir untersuchen ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n−1}}{n} mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz; betrachten also a_{n} = \sqrt[n]{|\frac{x^{n−1}}{n} |}. \underline{1.Fall}: x = 0 ⇒ a_{n} = 0 → 0 (n → ∞)

\underline{2.Fall}: x ≠ 0 ⇒ a_{n} = ^{\sqrt[n]{n}^{^{n} \sqrt{\frac{|x|^{n}}{|x|}}}} = \frac{|x|}{\sqrt[n]{|x|} \sqrt[n]{n}} → |x| (n → ∞)

Damit ist lim_{n→∞} a_{n} < 1 für alle x ∈ (−1, 1), also die Reihe konvergent.

(b) Sei λ ∈ (0, 1). Für alle x ∈ [−λ, λ] gilt

∑_{n=1}^{∞} |\frac{x^{n−1}}{n} | = ∑_{n=1}^{∞} \frac{|x|^{n−1}}{n} ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{λ^{n−1}}{n}

und diese Summe ist nach (a) konvergent. Also konvergiert die Reihe auf [−λ, λ] gleichmäßig.