Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 13. Juni 2007

Mathe II

1. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1)

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

(a) f : ℝ^{2} → ℝ mit f(x,y) = xy

(b) f : ℝ^{2} → ℝ^{2} mit f(x,y) = (2y,x + y)^{T}

(c) f : C^{1}(ℝ) → C^{0}(ℝ) mit (f(u))(x) = u′(x)

Kommentar zur Notation: C^{1}(ℝ)) steht für den Vektorraum aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen u: ℝ → ℝ und C^{0}(ℝ) für den Vektorraum aller stetigen Funktionen u: ℝ → ℝ.

Lösung:

(a) Es ist f(1,1) = 1, f(2,2) = 4.

Wäre f linear, müsste aber f(2,2) = f(2 · (1,1)) = 2 · f(1,1) = 2 gelten, also ist f nicht linear.

(b) Für alle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) ∈ ℝ^{2} und alle λ,μ ∈ ℝ gilt:

f(λ(x_{1},x_{2}) + μ(y_{1},y_{2})) = f(λx_{1}+ μy_{1},λx_{2}+ μy_{2})
= (2λx_{2}+ 2μy_{2},λx_{1}+ μy_{1}+ λx_{2}+ μy_{2})^{T}
= (2λx_{2},λ(x_{1}+ x_{2}))^{T}+ (2μy_{2},μ(y_{1}+ y_{2}))^{T}
= λf(x_{1},x_{2}) + μf(y_{1},y_{2})

⟹ f ist linear

(c) Für alle u,v ∈ C^{1}(ℝ) und alle λ,μ ∈ ℝ gilt:

(f(λu + μv))(x) = (λu + μv)′(x) = λu′(x) + μv′(x)
= λ(f(u))(x) + μ(f(v))(x)

für alle x ∈ ℝ,

also gilt f(λu + μv) = λf(u) + μf(v) als Funktion.

Damit ist f linear.

(G 2)

Skizzieren Sie die Mengen ℝ·e_{1}, ℝ·e_{2}, {(x_{1},x_{2}) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x_{1} ≤ 1 und 0 ≤ x_{2} ≤ 1} und {(x_{1},x_{2}) ∈ ℝ^{2} | x_{1}^{2}+ x_{2}^{2} ≤ 1} sowie ihre Bilder unter den folgenden linearen Abbildungen:

(a) f_{1}(x_{1},x_{2}) = (5x_{1},5x_{2}) (b) f_{2}(x_{1},x_{2}) = (7x_{1},x_{2}) (c) f_{3}(x_{1},x_{2}) = (x_{1},x_{1}+ x_{2})

(G 3)

Es sei ℝ[x]_{3} der ℝ-Vektorraum aller rellen Polynome höchstens dritten Grades.

(a) Ist die Ableitung p ↦ p′eine lieare Abbildung auf ℝ[x]_{3}? (Beweis!)

(b) Geben sie für die 2-fache Ableitung p ↦ p′′die beschreibende Matrix bezüglich der Basis {1,x,x^{2},x^{3}} an.

Lösung:

(a) Das Ableiten erniedrigt den Grad eines Polynoms. Daher ist die Ableitung eine Selbstabbildung des Vektorraumes ℝ[x]_{3}. Weiterhin gilt (p + q)′= p′+ q′sowie (λp)′= λp′für alle p,q ∈ ℝ[x]_{3} und alle λ ∈ ℝ. Somit ist die Ableitung linear.

(b) Es gilt 1′′= (x)′= 0, (x^{2})′′= 2 und (x^{3})′′= 6x. Die Matrix der 2-fachen Ableitung bezüglich der Basis {1,x,x^{2},x^{3}} ist somit durch

( \begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

gegeben.

(G 4)

Eine lineare Abbildung ϕ: ℝ^{2} −→ ℝ^{2} sei durch ϕ((1,−1)^{T}) = (1,0)^{T} und ϕ((1,2)^{T}) = (0,1)^{T} gegeben. Berechnen Sie ϕ((2,1)^{T}) sowie den Vektor v mit ϕ(v) = (2,1)^{T}.

Lösung:

Es gilt: v_{3} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 + 1 \\ 2 − 1 \end{matrix} ) = v_{2}+ v_{1}. Aus der Linearität von φ folgt

φ(v_{3})= φ(v_{2}+ v_{1}) = φ(v_{2})+ φ(v_{1})= ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Weiter gilt ebenfalls wegen der Linearität von φ:

φ(v) = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) = 2 · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = 2φ(v_{1})+ φ(v_{2})= φ(2v_{1}+ v_{2})

⇒  v = 2v_{1}+ v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \end{matrix} ) .

(G 5)

(a) Es sei φ: ℝ^{2} → ℝ^{2} die lineare Abbildung, welche die Spiegelung an der Winkelhalbierenden des zweiten und vierten Quadranten beschreibt. Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix, d.h. ermitteln Sie diejenige Matrix A_{φ}, bezüglich der

φ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = A_{φ} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

für alle (x,y)^{T} ∈ ℝ^{2} gilt.

(b) Die lineare Abbildung ψ: ℝ^{2} → ℝ^{3} sei durch

ψ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix})  und  ψ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) .

bestimmt. Ermitteln Sie erneut die Matrix A_{ψ} welche die Abbildung ψ bezüglich der Standardbasen des ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} beschreibt.

(c) Bestimmen Sie die zu ψ ∘ φ gehörige Abbildungsmatrix.

Lösung:

(a) Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren bereits eindeutig festgelegt.

Mit

φ(e_{1}) = φ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix}) =: a_{1}

und

φ(e_{2}) = φ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix}) =: a_{2}

folgt

φ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = xa_{1}+ ya_{2} = x( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix}) + y( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = A_{φ} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

für alle (x,y)^{T} ∈ ℝ^{2}, wobei

A_{φ} := ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) .

\underline{Skizze:}

(b) Wir wollen erneut Satz 9.1 anwenden. Ist nun (x,y)^{T} ∈ ℝ^{2} beliebig gewählt, dann gilt

( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = x( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + y( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) .

Als nächstes bestimmen wir die Bilder der Basisvektoren, wozu wir sinnvollerweise die einzigen uns bekannten Werte

ψ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix})  und  ψ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

verwenden. Wegen

( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = 2( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) − ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix})  und  ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = −( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) + ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix})

folgen mit der Linearität von φ die Beziehungen

ψ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = ψ( 2( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) − ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) ) = 2ψ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) − ψ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ −4 \end{matrix}) − ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ −5 \end{matrix})

und

ψ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = ψ( −( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) + ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) ) = −ψ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) + ψ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) .

Somit gilt

ψ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = xψ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + yψ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = x ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ −5 \end{matrix}) + y ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \\ −5 & 3 \end{matrix}) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

und wir erhalten

A_{ψ} = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \\ −5 & 3 \end{matrix}) .

(c) Es folgt

A_{ψ∘φ} = A_{ψ} · A_{φ} = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \\ −5 & 3 \end{matrix}) · ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −1 & 1 \\ −3 & 5 \end{matrix}) .

Hausübungen

(H 1)

Es sei x = (x,y)^{T}. Welche der folgenden Abbildungen von ℝ^{2} nach ℝ^{2} sind linear?

(a) f_{1}(x) := ( \begin{matrix}x − 2 \\ 3y \end{matrix} )  (b) f_{2}(x) := ( \begin{matrix}2x + y \\ y − x \end{matrix} )  (c) f_{3}(x) := ( \begin{matrix}2x − 3y \\ 0 \end{matrix} )

(d) f_{4}(x) := ( \begin{matrix}x^{2} \\ 2y \end{matrix} )

Bestimmen Sie die Matrizen bezüglich der Standardbasis zu den linearen unter den obigen Abbildung.

Lösung:

Die Abbildungen f_{1} und f_{4} sind nicht linear. Dies folgt etwa wegen

f_{1}(0) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) ≠ 0  und  f_{4}(2e_{1}) = ( \begin{matrix}4 \\ 0 \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix} ) = 2f_{4}(e_{1}).

Die Abbildung f_{2} und f_{3} sind beide linear. Dies können wir zeigen, indem wir einfach (L1) und (L2) nachrechnen, oder etwa folgendermaßen vorgehen: Für f_{2} und f_{3} berechnen wir

f_{2}(e_{1}) = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) , f_{2}(e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , f_{3}(e_{1}) = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix} ) , f_{3}(e_{2}) = ( \begin{matrix}−3 \\ 0 \end{matrix} ) .

Daraus erhalten wir Matrizen

A_{2} := ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} )  und  A_{3} := ( \begin{matrix}2 & −3 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Einfaches Nachrechnen zeigt nun, dass f_{2}(x) = A_{2}x sowie f_{3}(x) = A_{3}x für jedes x ∈ ℝ^{2} gilt und aus Theorem ??? folgt dann die Linearität von f_{2} und f_{3}.

(H 2)

Die komplexen Zahlen ℂ bilden in natürlicher Weise einen ℝ-Vektorraum mit der Basis {1,i}. Zum Beispiel besitzt die komplexe Zahl 3 − 5i bezüglich der obigen Basis die Koordinaten (3,−5). So läßt sich der Abbildung f : ℂ → ℂ : x ↦ xi, die eine komplexe Zahl mit i multipliziert, die Abbildungsmatrix

A_{f} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

zuordnen. Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear?

f_{1} : ℂ^{2} → ℂ: (x,y) ↦ x + y
f_{2} : ℂ^{2} → ℂ: (x,y) ↦ xy
f_{3} : ℂ → ℂ: x ↦ \overline{x}
f_{4} : ℂ → ℂ: x ↦ cx

Hierbei ist c ∈ ℂ und \overline{x}= \overline{a + bi} := a − bi bezeichnet die komplex Konjugierte von x.

Geben Sie bei den Abbildungen, die ℝ-linear sind, die Abbildungsmatrix (bezüglich der Standardbasis {1,i} für ℂ bzw. {(1,0)^{T},(i,0)^{T},(0,1)^{T},(0,i)^{T}} für ℂ^{2} an.

Lösung:

Die Abbildung f_{1} ist ℝ-linear, denn für x_{1},x_{2},y_{1},y_{2} ∈ ℂ und λ ∈ ℝ gilt

f_{1}(x_{1}+ x_{2},y_{1}+ y_{2}) = x_{1}+ x_{2}+ y_{1}+ y_{2} = x_{1}+ y_{1}+ x_{2}+ y_{2} = f_{1}(x_{1},y_{1}) + f_{1}(x_{2},y_{2}),
f_{1}(λx_{1},λy_{1}) = λx_{1}+ λy_{1} = λ(x_{1}+ y_{1}) = λf_{1}(x_{1},y_{1}).

Die Vektoren (1,0)^{T}, (i,0)^{T}, (0,1)^{T}, (0,i)^{T} sind eine Basis des ℂ^{2}. Deren Bilder sind die Spalten der Abbildungsmatrix A_{f_{1}} von f_{1} bezüglich dieser Basis. Daraus folgt

A_{f_{1}} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Die Abbildung f_{2} ist nicht ℝ-linear, denn für x = 1, y = 1 und λ = 2 gilt

f(λx,λy) = f(2,2) = 4 ≠ 2 = 2f(1,1) = λf(x,y).

Die Abbildung f_{3} ist ℝ-linear, denn für x = x_{1}+ x_{2}i ∈ ℂ, y = y_{1}+ y_{2}i ∈ ℂ und λ ∈ ℝ gilt

f_{3}(x + y) = \overline{(x_{1}+ y_{1}) + (x_{2}+ y_{2})i} = (x_{1}+ y_{1}) − (x_{2}+ y_{2})i = x_{1}− x_{2}i + y_{1}− y_{2}i
= f_{3}(x) + f_{3}(y),
f_{3}(λx) = \overline{λx_{1}+ λx_{2}i} = λx_{1}− λx_{2}i = λ(x_{1}− x_{2}i) = λf_{3}(x).

Die Bilder von 1 und i sind 1 und −i. Daraus folgt für die Abbildungsmatrix A_{f_{3}}

A_{f_{3}} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

Die Abbildung f_{4} ist ℝ-linear, denn für x,y ∈ ℂ und λ ∈ ℝ gilt

f_{4}(x + y) = c(x + y) = cx + cy = f_{4}(x) + f_{4}(y),
f_{4}(λx) = c(λx) = λ(cx) = λf_{4}(x)

Sei c = c_{1}+ c_{2}i. Dann ist f(1) = c_{1}+ c_{2}i und f(i) = −c_{2}+ c_{1}i. Daraus folgt für die Abbildungsmatrix A_{f_{4}}

A_{f_{4}} = ( \begin{matrix}c_{1} & −c_{2} \\ c_{2} & c_{1} \end{matrix} ) .

(H 3)

Wir betrachten die ℝ-Vektorräume ℝ^{2} und ℝ^{3} und in diesen die Basen B : ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) bzw. C :

( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) . Eine lineare Abbildung ψ ∈ Hom(ℝ^{3},ℝ^{2}) sei bezüglich dieser Basis

durch die Matrix

[ψ]_{B}^{C} := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} )

beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Matrix, welche ψ bezüglich der Standardbasen K_{2} von ℝ^{2} und K_{3} von ℝ^{3} beschreibt.

(b) Weiterhin sei ein Vektor v ∈ ℝ^{3} durch [v]_{K_{3}} := ( \begin{matrix}7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix} ) gegeben. Bestimmen Sie das Bild

[ψ(v)]_{B}.

Lösung:

(a) Als Transformationsmatrix in ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} nehmen wir die Matrix

R = [id]_{B}^{K_{2}} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) bzw. S = [id]_{C}^{K_{3}} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Damit erhalten wir für die Matrix der Abbildung ψ bezüglich der kanonischen Basen von ℝ^{2} und ℝ^{3}

[ψ]_{K^{3}}^{K_{2}} = [id_{ℝ}^{2}]_{B}^{K_{2}}· [ψ]_{C}^{B} · [id_{ℝ}^{2}]_{K_{3}}^{C} = R[ψ]_{C}^{B}S^{−1}

und wegen

S^{−1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

somit

[ψ]_{K^{3}}^{K_{2}} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}7 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix} ) .

(b) Es gilt

[ψ(v)]_{C} = [ψ]_{B}^{C}[v]_{B} sowie [v]_{C} = [id]_{K_{3}}^{C}[v]_{K_{3}} = S^{−1} [v]_{K_{3}}

und wir erhalten somit

[ψ(v)]_{C} = [ψ]_{B}^{C}S^{−1} [v]_{K_{3}} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}22 \\ 58 \end{matrix} ) .