Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner Hasan Gündogan

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 10. Juli 2007

Mathe II

13. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Trennung der Variablen Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL y′(x) = y(x)^{n}. (G 2) Wir betrachten die homogene DGL y′′ + b · y′ + c · y = 0 mit den konstanten Koeffizienten b und c.

(a) Erraten Sie für b = 0 und c = 1 zwei unabhängige Lösungen.

(b) Lösen Sie für b = 3 und c = 2 obige DGL mit dem Ansatz y(x) = exp(λx).

(c) Wie können Sie die in a) erratenen Lösungen mit dem Lösungsverfahren aus b) erhalten?

(G 3) Finden Sie alle Lösungen der DGL y^{(4)} − 5y^{(2)} + 4y = 0. Hinweis: Sie können wie in G2 b) vorgehen. (G 4) Wronski-Determinante Entscheiden Sie ob und in welchen Fällen die folgenden Funktionen ein Fundamentalsystem einer linearen Differentialgleichung der Ordnung n sein können.

(a) y_{1}(x) = 1, y_{2}(x) = x, y_{3}(x) = x^{2}

(b) y_{1}(x) = x, y_{2}(x) = x^{2}, y_{3}(x) = x^{5}

(c) y_{1}(x) = sin^{2} x, y_{2}(x) = 2 cos^{2} x, y_{3}(x) = 3 (G 5) Variation der Konstanten Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichungssystems

y′_{1} = −y_{2}
y′_{2} = y_{1} + x

Hinweis: Sie können die Identität exp [( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) x] = ( \begin{matrix}cos x & − sin x \\ sin x & cos x \end{matrix} ) verwenden.

(G 6) Reduktion der Ordnung Es soll die DGL x^{2}y′′ − xy′ + y = 0 auf dem Intervall I = (0, ∞) gelöst werden.

(a) Erraten Sie eine Lösung y_{1} der DGL.

(b) Bestimmen Sie durch Reduktion der Ordnung eine zweite, von y_{1} linear unabhängige Lösung der DGL.

Hausübungen

(A 38) Zum Aufwärmen (10 Punkte) Finden Sie die Lösungen für folgende Anfangswertprobleme:

(a) y′ + \frac{(1+x)}{x}y = 0, y(1) = 1 (b) y′ = y^{2} + 1, y(\frac{π}{4}) = −1 (c) y′ + y − x^{2} = 0, y(0) = 10

(A 39) (10 Punkte) Für x > 0 sei die Dgl.

x(x + 1)y′′ − (2x + 1)y′ + 2y = 2x(x + 1)

gegeben. Überprüfen Sie, ob die Funktionen y_{1}(x) = (x+1)^{2} und y_{2}(x) = x^{2} ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung bilden. Berechnen Sie sodann die allgemeine Lösung durch Variation der Konstanten.

(A 40) (10 Punkte) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

y′ = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) y