Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner Hasan Gündoğan

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 5. Juli 2007

Mathe II

12. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Sternförmige Mengen und exakte DGLen

Ein sternförmiges Gebiet G ⊂ ℝ^{2} ist ein Gebiet, das einen festen Punkt z ∈ G besitzt, so dass die gerade Strecke von z zu jedem anderen Punkt von G noch vollständig in G liegt. Zum Beispiel ist der ℝ^{2} sternförmig (wähle z.B. z = (0, 0)) oder ein Kreis mit Mittelpunkt z oder eben ein ”echter“ Stern. Ein nicht-sternförmiges Gebiet ist z.B. ℝ^{2}\ {(0, 0)} oder ein ”Autoreifen“.

Eine DGL der Form

A(x, y) + B(x, y) · y′ = 0  (1)

für stetige Funktionen A, B : G → ℝ heißt exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion U : G → ℝ gibt mit \frac{∂U}{∂x} = A und \frac{∂U}{∂y} = B. In diesem Fall kann man das AWP

\begin{aligned}A(x, y) + B(x, y) · y′ & = 0 \\ y(x_{0}) & = y_{0} \end{aligned}  (2)

für (x_{0}, y_{0}) ∈ G lokal eindeutig lösen durch Gleichsetzen U(x, y) = U(x_{0}, y_{0}) und Auflösen nach y, falls das möglich ist. In diesem Fall heißt U eine Stammfunktion der DGL (1).

Ob eine DGL exakt ist, lässt sich folgendermaßen erkennen:

Satz: Ist G sternförmiges Gebiet und gilt für die DGL (1) die Bedingung \frac{∂A}{∂y} = \frac{∂B}{∂x}, so ist die DGL exakt.

(a) Sei G = (0, ∞) × (0, ∞), seien A(x, y) = \frac{2x}{y^{3}} und B(x, y) = \frac{y^{2}−3x^{2}}{y^{4}} auf G und sei (x_{0}, y_{0}) = (1, 1). Begründen Sie, warum in diesem Fall die DGL (1) exakt ist und lösen Sie das AWP (2).

(b) Sei G = ℝ^{2}\ \{(0, 0)\}, seien A(x, y) = \frac{−y}{x^{2}+y^{2}} und B(x, y) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} auf G und sei (x_{0}, y_{0}) = (1, 1). Rechnen Sie nach, dass \frac{∂A}{∂y} = \frac{∂B}{∂x} gilt. Haben wir in diesem Fall eine exakte DGL?

(G 2) Trennbare DGLen

Eine DGL der Form

y′ = f(x) · g(y)  (3)

für auf Intervallen definierte stetige Funktionen f, g heißt trennbar und das zugehörige AWP

\begin{aligned}y′ & = f(x) · g(y) \\ y(x_{0}) & = y_{0} \end{aligned}  (4)

lässt sich, falls g(y_{0}) ≠ 0, lokal eindeutig lösen durch

\begin{aligned}y′ = f(x) · g(y) & ⟹ \frac{dy}{dx} = f(x) · g(y) ⟹ \frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx \\ & ⟹ ∫_{y_{0}}^{y} \frac{1}{g(η)} dη = ∫_{x_{0}}^{x} f(ξ) dξ \end{aligned}

und Auflösen nach y, falls das möglich ist.

(a) Lösen Sie das AWP (4) für f(x) = \frac{1}{x}, g(y) = 1 + y^{2} und (x_{0}, y_{0}) = (1, 0).

(b) Lösen Sie das AWP

\begin{aligned}(1 + e^{x}) · y · y′ & = e^{x} \\ y(0) & = 1. \end{aligned}

(G 3) Lineare DGLen und Variation der Konstanten Eine DGL der Form

y′ + a(x) · y = f(x)  (5)

für auf einem Intervall I ⊂ ℝ definierte stetige Funktionen a, f heißt lineare DGL 1. Ordnung und das zugehörige AWP

\begin{aligned}y′ + a(x) · y & = f(x) \\ y(x_{0}) & = y_{0} \end{aligned}  (6)

lässt sich für beliebige y_{0} auf dem ganzen Intervall I global eindeutig lösen durch

y(x) = e^{−A(x)} · (y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} e^{A(ξ)}f(ξ) dξ) , wobei A(x) := ∫_{x_{0}}^{x} a(t) dt.

(a) Lösen Sie das AWP y′ = c; y(x_{0}) = y_{0} für allgemeine feste c, x_{0}, y_{0} ∈ ℝ.

(b) Lösen Sie das AWP y′ + 5y = 10x + e^{−5x}; y(0) = 0.

(G 4) Extremwertaufgabe Gegeben sei die Funktion f : ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ x^{2} − 2xy + 3y^{2} − 10, die es auf der Menge

M := {(x, y) ∈ ℝ^{2}| g(x, y) ≤ 0}

mit

g(x, y) = x^{2} + 2y^{2} − 1

zu minimieren und zu maximieren gilt.

(a) Um was für eine Menge handelt es sich anschaulich bei M? Warum muss die Funktion f auf M sowohl ein Maximum als auch ein Minimum annehmen?

(b) Berechnen Sie das Maximum und das Minimum von f auf M. Gehen Sie dabei in zwei Schritten vor: Minimieren Sie f auf der offenen Menge M^{∘} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}| g(x, y) < 0} und dann auf der Menge ∂M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}| g(x, y) = 0}.

Hausübungen

(A 34) Exakte DGLen (3+5=8 Punkte) Begründen Sie jeweils, warum es sich bei den folgenden DGLen um exakte DGLen handelt und lösen Sie die zugehörigen AWPe.

(a) 12xy + 3 + 6x^{2} · y′ = 0; y(1) = 1.

(b) 2xe^{y} − 1 + (x^{2}e^{y} + 1) · y′ = 0; y(1) = 0.

Hinweis: Gehen Sie bei (b) wie bei (a) vor. Wenn Sie die Lösung y nicht explizit bestimmen können, begründen Sie die Existenz von y durch einen geeigneten ”großen Satz“.

(A 35) Trennbare DGLen (2+3+2+5=12 Punkte) Lösen Sie die AWPe der folgenden trennbaren DGLen.

(a) y′ = sin(x)e^{y}; y(0) = 0.

(b) y′ = \sqrt{\frac{x}{y}}; y(4) = 1.

(c) y′ = x\sqrt{1 − y^{2}}; y(0) = 0.

(d) xy(1 + x^{2})y′ = 1 + y^{2}; y(1) = 1. (A 36) Lineare DGLen und Variation der Konstanten (3+3+4=10 Punkte)

(a) Lösen Sie das AWP zur folgenden linearen DGL 1. Ordnung:

\begin{aligned}y′ + y · cot(x) & = 5e^{cos(x)} \\ y (\frac{π}{2} ) & = 0. \end{aligned}

(b) Lösen Sie das AWP zur folgenden homogenen linearen DGL 2. Ordnung:

\begin{aligned}y′′ − 8y′ + 7y & = 0 \\ y(0) & = 0 \\ y′(0) & = 1. \end{aligned}

(c) Lösen Sie das AWP zur folgenden homogenen linearen DGL 2. Ordnung:

\begin{aligned}y′′ + 12y′ + 100y & = 0 \\ y(0) & = 1 \\ y′(0) & = 6. \end{aligned}

Hinweis: Hat man eine homogene lineare DGL 2. Ordnung, d.h. eine DGL der Form

y′′ + ay′ + by = 0  (7)

für reelle Zahlen a, b ∈ ℝ, so ist das zugehörige AWP

\begin{aligned}y′′ + ay′ + by & = 0 \\ y(x_{0}) & = y_{0} \\ y′(x_{0}) & = y_{1} \end{aligned}  (8)

für beliebige y_{0}, y_{1} auf ganz ℝ global eindeutig lösbar. Man geht dazu in drei Schritten vor:

1. Man bestimmt die Lösungen der charakteristischen Gleichung λ^{2} + aλ + b = 0.

2. Je nachdem, was für Nullstellen λ_{1}, λ_{2} man erhält, wählt man y_{1} und y_{2}: (i) λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ, λ_{1} ≠ λ_{2} ⟹ y_{1}(x) = e^{λ_{1}x}, y_{2}(x) = e^{λ_{2}x}. (ii) λ_{1} = λ_{2} ∈ ℝ ⟹ y_{1}(x) = e^{λ_{1}x}, y_{2}(x) = xe^{λ_{1}x}. (iii) λ = α − iβ, λ_{2} = α + iβ, β ≠ 0 ⟹ y_{1}(x) = e^{αx} cos(βx), y_{2}(x) = e^{αx} sin(βx).

3. Die Lösung des AWPs (8) lautet

y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x),

wobei c_{1}, c_{2} noch zu bestimmende reelle Zahlen sind, die man über die Anfangswertbedingungen y(x_{0}) = y_{0} und y′(x_{0}) = y_{1} erhält.