Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner Hasan Gündoğan

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 18. Juni 2007

Mathe II

10. Übung

Auf diesem Übungsblatt behandeln wir die Differenzialrechnung in höherdimensionalen Räumen. Es gelten die folgenden allgemeinen Voraussetzungen:

E, F sind endlich-dimensionale, normierte Vektorräume, d.h. beide sind mit einer Funktion ∥·∥ ausgestattet, die den Vektoren eine Länge zuordnet. Normalerweise denken wir uns E = ℝ^{m} und F = ℝ^{n} für gewisse m, n ∈ ℕ, jeweils mit der Norm ∥x∥_{2} := \sqrt{∑_{i} x_{i}^{2}} oder der Norm ∥x∥_{∞} := max_{i} |x_{i}|. Wichtig ist in diesem Fall, dass bezüglich dieser Normen Folgen im ℝ^{n} bzw. ℝ^{m} genau dann konvergieren, wenn alle einzelnen Komponenten konvergieren. Außerdem ist U ⊂ E immer eine offene Teilmenge, z.B. die Menge U = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}| x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 1} (offene Einheitskugel) in E = ℝ^{2}. In vielen Fällen ist aber einfach U = E.

Wir definieren dann die folgenden Begriffe: Eine Abbildung f : U → F heißt in einem Punkt x ∈ U differenzierbar, falls eine lineare Abbildung A : E → F existiert, so dass

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x) − A(h)}{∥h∥} = 0

gilt. Weil die lineare Abbildung A von x und f abhängt und sogar eindeutig bestimmt ist, schreiben wir Df_{x} := A und nennen sie das Differenzial von f in x.

Eine Abbildung f : U → F heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar ist.

Ist eine Abbildung f : U → F gegeben, ein Punkt x ∈ U und ein Vektor v ∈ E, so heißt

∂_{v}f(x) := lim_{t→0} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t}

die Richtungsableitung von f in x in Richtung v.

Speziell für E = ℝ^{m}, F = ℝ, x ∈ U und e_{1}, e_{2}, …, e_{m} ∈ ℝ^{m}, wobei bei e_{j} nur der j-te Eintrag 1 ist und alle anderen 0, schreibt man

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x) := ∂_{e_{j}}f(x) = lim_{t→0} \frac{f(x_{1}, …, x_{j−1}, x_{j} + t, x_{j+1}, …, x_{m}) − f(x)}{t}

und nennt diese Zahl die partielle Ableitung nach x_{j}. Wenn man also eine mehrdimensionale Funktion partiell nach einer Variablen ableitet, tut man so, als ob die Funktion nur von dieser einen Variablen abhängt und leitet sie danach ab. Beispiel:

f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2}x_{2} + cos(x_{2}) ⟹ \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = 2x_{1}x_{2} + 0 und \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} − sin(x_{2}).

Wenn die partiellen Ableitungen in alle Koordinatenrichtungen existieren, heißt die Funktion partiell differenzierbar. Wenn die partiellen Ableitungen alle stetig sind, heißt die Funktion stetig partiell differenzierbar.

Ist eine Abbildung f : U → F in einem Punkt x ∈ U differenzierbar und ist ein Vektor v ∈ E gegeben, so existiert auch die Richtungsableitung von f in x in Richtung v und sie ist:

∂_{v}f(x) = Df_{x}(v).

Hat man E = ℝ^{m}, F = ℝ^{n} und eine Funktion f : U → ℝ^{n}, x ↦ (f_{1}(x), f_{2}(x), …, f_{n}(x)), die in x ∈ U differenzierbar ist, so definiert man eine Matrix

J_{f}(x) := (\begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} (x) & \frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} (x) & \frac{∂f_{1}}{∂x_{3}} (x) & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{m}} (x) \\ \frac{∂f_{2}}{∂x_{1}} (x) & \frac{∂f_{2}}{∂x_{2}} (x) & \frac{∂f_{2}}{∂x_{3}} (x) & ⋯ & \frac{∂f_{2}}{∂x_{m}} (x) \\ \frac{∂f_{3}}{∂x_{1}} (x) & \frac{∂f_{3}}{∂x_{2}} (x) & \frac{∂f_{3}}{∂x_{3}} (x) & ⋯ & \frac{∂f_{3}}{∂x_{m}} (x) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{n}}{∂x_{1}} (x) & \frac{∂f_{n}}{∂x_{2}} (x) & \frac{∂f_{n}}{∂x_{3}} (x) & ⋯ & \frac{∂f_{n}}{∂x_{m}} (x) \end{matrix}) ,

die Jacobi-Matrix von f in x. Das Differenzial ist dann folgendermaßen gegeben:

Df_{x} : ℝ^{m} ⟶ ℝ^{n}
h ⟼ J_{f}(x) · h.

Die bekannte Ableitung im Eindimensionalen ist eine 1 × 1-Jacobi-Matrix, das Differenzial im Eindimensionalen ist die Multiplikation mit dieser Zahl.

Gruppenübungen

(G 1) Formen der Differenzierbarkeit

Fügen Sie zwischen die folgenden Aussagen für eine Funktion f : ℝ^{m} → ℝ^{n} alle allgemein richtigen Implikationspfeile ” ⟹ “ ein:

f ist stetig.  f ist differenzierbar. f ist partiell differenzierbar.  f ist stetig partiell differenzierbar.

(G 2) Richtungsableitung, Partielle Ableitung, Differenzial, Jacobi-Matrix

Sei f : ℝ^{3} → ℝ, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x_{1}^{2}x_{2} − 2x_{1}x_{2}^{2} + e^{x_{3}}.

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Definition die Richtungsableitung ∂_{v}f(x) von f in x = (2, 1, 0) in Richtung v = (2, −1, 1).

(b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{1}} , \frac{∂f}{∂x_{2}} , \frac{∂f}{∂x_{3}} von f.

(c) Ist f differenzierbar, d.h ist f in jedem Punkt von ℝ^{3} differenzierbar? Wenn ja, wie sieht das Differenzial Df_{x} : ℝ^{3} → ℝ an einer allgemeinen Stelle x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) aus? Und was hat Df_{x} mit der Jacobi-Matrix J_{f}(x) zu tun? Können Sie mit Hilfe von J_{f}(x) die Richtungsableitung ∂_{v}f(x) aus (a) auf eine zweite Art und Weise berechnen?

(G 3) Höhere Ableitungen und Taylor im Mehrdimensionalen

Sei f : ℝ^{3} → ℝ, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x_{1}^{2}x_{2} − 2x_{1}x_{2}^{2} + e^{x_{3}} wie in (G 2). Bestimmen Sie die höheren partiellen Ableitungen von f bis zum Grad 3 und stellen Sie die Taylorpolynome vom Grad 0 bis 3 mit Entwicklungspunkt a = (2, 1, 0) auf. Ist bei der Berechnung der höheren partiellen Ableitungen von f die Reihenfolge der Differenziation wichtig?

Hinweis: Das Taylorpolynom vom Grad n mit Entwicklungspunkt a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) von f ist

T_{f}^{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} ( ∑_{\begin{matrix}0≤j_{1},j_{2},j_{3}≤k \\ j_{1}+j_{2}+j_{3}=k \end{matrix}} \frac{∂^{k}f}{∂x_{1}^{j_{1}}∂x_{2}^{j_{2}}∂x_{3}^{j_{3}}} (a) · \frac{(x_{1} − a_{1})^{j_{1}}(x_{2} − a_{2})^{j_{2}}(x_{3} − a_{3})^{j_{3}}}{j_{1}!j_{2}!j_{3}!} ) .

(G 4) Kettenregel im Mehrdimensionalen Seien f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}^{2} − x_{1}x_{2}, x_{1} + x_{2}^{3}) und g : ℝ → ℝ^{2}, z ↦ (z, z). Bestimmen Sie J_{(f∘g)}(7) auf zwei Arten und Weisen. Hinweis: Für die Benutzung der Kettenregel im Mehrdimensionalen ist es hilfreich, sich alle obigen Vektoren als stehende Vektoren vorzustellen. Dann steht in der j-ten Spalten der Jacobi-Matrix die vektorwertige Funktion nach x_{j} partiell abgeleitet.

Hausübungen

(A 29) Mehrdimensionales Ableiten (2+4+4=10 Punkte) Wir fassen den Raum aller 2×2-Matrizen als vierdimensionalen Vektorraum ℝ^{2×2} = ℝ^{4} auf. Die Menge der invertierbaren Matrizen^{1} bezeichnen wir mit U ⊂ ℝ^{4}. Die Matrix-Inversion

U ⟶ ℝ^{2×2} = ℝ^{4}
(\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}η_{a}(a, b, c, d) \\ η_{b}(a, b, c, d) \\ η_{c}(a, b, c, d) \\ η_{d}(a, b, c, d) \end{matrix})

nennen wir η.

(a) Bestimmen Sie η_{a}, η_{b}, η_{c}, η_{d} mit Hilfe der expliziten Inversions-Formel für 2 × 2-Matrizen.

(b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von η_{a}, η_{b}, η_{c}, η_{d}.

(c) Rechnen Sie nach, dass gilt:

Dη(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix}w & x \\ y & z \end{matrix}) = − (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}w & x \\ y & z \end{matrix}) (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})^{−1} .

(A 30) Höhere Ableitungen und Taylor im Mehrdimensionalen (10 Punkte) Sei f : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ e^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} − 8x_{1}^{2} − 4x_{2}^{2}. Bestimmen Sie die höheren partiellen Ableitungen von f bis zum Grad 4 und stellen Sie die Taylorpolynome vom Grad 0 bis 4 mit Entwicklungspunkt a = (0, 0) auf. Hinweis: Das Taylorpolynom vom Grad n mit Entwicklungspunkt a = (a_{1}, a_{2}) von f ist

T_{f}^{n}(x, a) = ∑_{k=0}^{n} ( ∑_{\begin{matrix}0≤j_{1},j_{2}≤k \\ j_{1}+j_{2}=k \end{matrix}} \frac{∂^{k}f}{∂x_{1}^{j_{1}}∂x_{2}^{j_{2}}} (a) · \frac{(x_{1} − a_{1})^{j_{1}}(x_{2} − a_{2})^{j_{2}}}{j_{1}!j_{2}!} ) .

1Diese Teilmenge ist offen und deswegen ist die folgende Betrachtung sinnvoll.

(A 31) Kettenregel im Mehrdimensionalen (5+5=10 Punkte) Seien f : ℝ^{3} → ℝ, (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} und g : ℝ → ℝ^{3}, z ↦ (1, z, z^{2}). Bestimmen Sie jeweils auf zwei Arten und Weisen:

(a) (f ∘ g)′(1) = J_{(f∘g)}(1) (b) J_{(g∘f)}(1, 2, 0)