Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner Hasan Gündogan

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 14. Juni 2007

Mathe II

9. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Fourierreihen

Skizzieren Sie die folgendenden 2π-periodischen Funktionen und berechnen Sie deren Fourierreihen:

(a) f(x) = |x|,  x ∈ (−π, π]  (b) g(x) = | sin(x)|, x ∈ (−π, π]
(c) h(x) = (x − π)^{2}, 0 ≤ x < 2π

Hinweis: Sie können die Identitäten sin x cos jx = \frac{1}{2}[sin(j + 1)x) − sin(j − 1)x] bzw. ∫ x cos (nx)dx = (\frac{cos (nx)}{n^{2}} + x\frac{sin (nx)}{n}) und ∫ x^{2} cos (nx)dx = \frac{2x}{n^{2}} cos (nx) + (\frac{x^{2}}{n} − \frac{2}{n^{3}} ) sin (nx) benutzen.

(G 2) Ableitungen stetiger linearer Funktionen

Es sei A : V → ℝ eine stetige lineare Abbildung zwischen den normierten Vektorräumen V und ℝ.

(a) Berechne die Richtungsableitung lim_{t→0} \frac{A(x+th)−A(x)}{t} am Punkt x ∈ V in Richtung h ∈ V.

(b) Ist die Abbildung A differenzierbar? Wenn ja, wie lautet die Ableitung DA_{x} an einem Punkt x ∈ V?

(G 3) Partielle Ableitungen

Die Richtungsableitungen lim_{t→0} \frac{f(x+te_{i})−f(x)}{t} einer Funktion f : ℝ^{n} → ℝ^{m} in Richtung der i-ten Einheitsvektoren e_{i} werden (sofern sie existieren) partielle Ableitungen genannt. Man schreibt dafür auch \frac{∂f}{∂x_{i}}.

(a) Man berechne für die folgenden Funktionen f : ℝ^{2} → ℝ bzw f : ℝ^{3} → ℝ die partiellen Ableitungen sowie deren partielle Ableitungen.

(i) f(x, y) = x^{3} − 2x^{2}y^{2} + 4xy^{3} + y^{4} + 10. (ii) f(x, y, z) = xyz sin(x + y + z)

(b) Die Funktion f : ℝ^{2} \ \{0\} → ℝ sei durch f(x, y) = ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} gegeben. Zeigen Sie \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} = 0.

(G 4) Ein Gegenbeispiel

Die Funktion f : ℝ^{2} → ℝ sei durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

gegeben. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die Funktion f ist im Punkt 0 partiell differenzierbar.

(b) Die Richtungsableitung lim_{t→0} \frac{f(tv)−f(0)}{t} exisitert nur für v ∈ \{0\}×ℝ und v ∈ ℝ×\{0\}.

(c) Die Funktion f ist nicht differenzierbar.

(G 5) Ableitungen stetiger linearer Funktionen II

Es seien V und W normierten Vektorräume und f : V → ℝ eine stetige lineare Abbildung. Wir wissen aus Aufgabe G1, daß für alle v ∈ V das Differential df(v) genau durch die Funktion f gegeben ist. Kommentiere folgenden Einwand:

“Ist V = W = ℝ und f : ℝ → ℝ, x ↦ x die Identität, so gilt f′(x) = 1 für alle x ∈ ℝ, im Widerspruch zu oben gezeigtem!”

(Wo liegt der Fehler?)

Hausübungen

(A 26) Kurven im ℝ^{3} (10 Punkte)

Es seien α und β zwei stetig differenzierbare Kurven I → ℝ^{3} im ℝ^{3}. Wir definieren die Kurve γ : I → ℝ^{3} durch γ(t) = α(t) × β(t). (Zur Erinnerung, das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist durch

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2} \\ y_{1}x_{3} − x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2} − x_{2}y_{3} \end{matrix} )

gegeben).

(a) Wie berechnet sich die Ableitung von γ am Punkt t (durch die Werte von α, α̇, β und β̇)?

(b) Ist die Kurve γ stetig differenzierbar?

(A 27) Richtungsableitung (10 Punkte)

Es sei V = C([0, 1], ℝ) der Vektorraum der stetigen reellen Funktionen auf dem Einheitsintervall versehen mit der Supremumsnorm. Wie lautet die Richtungsableitung der Funktion f ↦ f^{2} in Richtung h ∈ V am Punkt f ∈ V?

(A 28) Die Richtungsableitung der Exponentialfunktion (10 Punkte)

Wir betrachten den Banachraum V = L(ℝ^{n}, ℝ^{n}), wobei wir lineare Abbildungen A mit der zugehörigen Matrix bezüglich der kanonischen Basis identifizieren. Die Matrixexponentialfunktion exp : V → V ist durch

exp(A) = ∑_{k=0} \frac{1}{k!}A^{k}

gegeben. Berechne die Richtungsableitung der Matrixexponentialabbildung in Richtung A am Punkt 0 (d.h. bei der Nullabbildung).

Hinweis: Dies geschieht analog zum Beweis für die reelle Exponentialfunktion.