Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner Hasan Gündoğan

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 5. Juni 2007

Mathe II

8. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Taylorpolynome und Taylorreihen

Bestimmen Sie von folgenden Funktionen f_{i} : ℝ → ℝ jeweils die Taylorpolynome vom Grad 0 bis 3 mit Entwicklungspunkt 1 und, falls möglich, die entsprechenden Taylorreihen. In welchen offenen Umgebungen von 1 konvergieren die Taylorreihen, falls sie existieren, gegen die jeweilige Funktion f_{i}?

(a) f_{1}(x) = 2x^{3} − 3x^{2} + 8x − 4 (b) f_{2}(x) = sin(πx) (c) f_{3}(x) = \begin{cases}0 & für x ≤ 1 \\ (x − 1)^{4} & für x ≥ 1. \end{cases}

(G 2) Reelle und komplexe Fourierkoeffizienten

Sei

S_{N}(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{N} a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)

ein reelles Fourierpolynom. Finden Sie seine komplexe Darstellung, d.h. finden Sie c_{k} ∈ ℂ für k ∈ {0, 1, −1, 2, −2, …, N, −N} mit

S_{N}(x) = ∑_{k=−N}^{N} c_{k}e^{ikx}.

Zusatzfrage: Sei S_{N} eine N-te Fourier-Partialsumme für vorgegebenes N ∈ ℕ. Wie viele Nullstellen in [−π, π) hat S_{N} höchstens, wenn nicht alle a_{k}, b_{k} null sind?

Hinweis: Es gelten e^{it} = cos(t) + i sin(t) und e^{−it} = cos(t) − i sin(t). Wie kann man aus diesen Informationen den Sinus und den Kosinus zurückgewinnen?

(G 3) Berechnung einiger Fourierreihen

Skizzieren Sie die Graphen der folgenden 2π-periodischen Funktionen f_{i} : ℝ → ℝ, berechnen Sie ihre reellen und komplexen Fourierkoeffizienten und stellen Sie jeweils die reelle und die komplexe Fourierreihe auf:

(a) f_{1}(x) := x für x ∈ [−π, π]. (b) f_{2}(x) := \begin{cases}x & für x ∈ [0, π] \\ −x & für x ∈ [−π, 0]. \end{cases}

(c) f_{3}(x) := \frac{x^{2}}{4} für x ∈ [−π, π].

Hinweis: Die Formeln für die reellen Fourierkoeffizienten sind a_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cos(kx) dx für k = 0, 1, 2, … und b_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin(kx) dx für k = 1, 2, 3, . . .. Die komplexen Koeffizienten erhalten Sie durch c_{k} := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−ikx} dx für k ∈ ℤ oder mithilfe der reellen Koeffizienten und (G 2).

(G 4) Konvergenz von Fourierreihen

Betrachten Sie die Fourierreihen der Funktionen f_{1}, f_{2}, f_{3} aus Aufgabe (G 3) hinsichtlich ihrer Konvergenz: An welchen Stellen und nach welchem Satz konvergieren die Fourierreihen jeweils? Betrachten Sie die Unstetigkeitsstellen der Funktionen gesondert und bestimmen Sie dort auf zwei Arten und Weisen, ob die Fourierreihen konvergieren und wenn ja, mit welchen Grenzwerten.

Hausübungen

(A 23) Konvergenz einer Fourierreihe (10 Punkte)

Sei d_{0}, d_{1}, d_{−1}, d_{2}, d_{−2}, … eine Folge komplexer Zahlen. Man definiere auf dem Intervall [−π, π] mit S_{N}(x) = ∑_{k=−N}^{N} d_{k}e^{ikx} eine Funktionenfolge (S_{N})_{N∈ℕ}, also die Fourierreihe ∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}e^{ikx}. Wir nehmen nun weiter an, dass diese gleichmäßig gegen eine Funktion f : [−π, π] → ℂ konvergiere. Beantworten Sie (mit Begründung!) folgende Fragen:

(a) Ist f notwendigerweise stetig?

(b) Stimmt die Reihe ∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}e^{ikx} mit der Fourierreihe von f überein, d.h. gilt

∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}e^{ikx} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx},

wobei c_{k} := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−ikx} dx für alle k ∈ ℤ?

(c) Ist die Konvergenz von (S_{N})_{N∈ℕ} gegen f auch eine Konvergenz im normierten Vektorraum (C^{0}([−π, π]), ∥·∥_{2}), d.h. gilt auch

lim_{N→∞} \sqrt{∫_{−π}^{π} |S_{N}(x) − f(x)|^{2} dx} = 0?

(A 24) Integrale von Sinus- und Kosinus-Funktionen (10 Punkte)

Berechnen Sie

∫_{−π}^{π} sin(kx) sin(ℓx) dx und ∫_{−π}^{π} cos(kx) cos(ℓx) dx

für beliebige k, ℓ ∈ ℤ.

Hinweis: Denken Sie an die komplexe Darstellung des Sinus und des Kosinus.

(A 25) Reihe über den reziproken Quadratzahlen (10 Punkte)

Wir wollen

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + …

berechnen^{1} und gehen in drei Schritten vor.

1Diese Reihe ist einige der wenigen Reihen, von denen man auswendig wissen sollte, dass sie konvergieren.

(a) Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten c_{k} der 2π-periodischen Funktion

f(x) := \begin{cases}1 & für x ∈ [0, π] \\ −1 & für x ∈ [−π, 0) \end{cases}

für k ∈ ℤ.

(b) Wenden Sie nun Parselvals Gleichung

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(x)|^{2} dx = ∑_{k=−∞}^{∞} |c_{k}|^{2}

an, um ∑_{j=0}^{∞} \frac{8}{(2j+1)^{2}π^{2}} und danach ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(2j+1)^{2}} zu berechnen.

(c) Wir schreiben S := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} . Begründen Sie, warum

S = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(2j + 1)^{2}} + \frac{S}{4}

gilt. Folgern Sie nun S = \frac{π^{2}}{6} .