Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 30. Mai 2007

Mathe II

7. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Offene/Abgeschlossene und kompakte Mengen

Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen von ℝ jeweils offen, abgeschlossen oder kompakt sind.

(a) ℕ  (b) [0, 1)  (c) ⋃_{k=2}^{∞}(\frac{1}{k}, 1)  (d) M = \{(−1)^{n} \frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} ∪ \{0\}

(G 2) Ein unendlichdimensionaler Banachraum

Zeigen Sie, dass die abgeschlossene Einheitskugel in dem unendlichdimensionalen Banachraum (C([a, b]), ∥ · ∥_{∞}) nicht kompakt ist.

(G 3) Potenzreihen

Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}(2x)^{n}, x ∈ ℝ (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(x−2)^{n}}{n^{2}} , x ∈ ℝ. (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(1+i)^{n}}{n^{2}} z^{n}, x ∈ ℂ.

Für welche Werte sind die Reihen konvergent, auf welchen Teilmengen von ℝ bzw. ℂ sind sie gleichmäßig konvergent? Machen Sie sich jeweils klar, um welche Funktionenfolge es sich dabei handelt.

(G 4) Konvergenz von Funktionenfolgen

Für alle n ∈ ℕ seien die Funktionen f_{n} : ℝ → ℝ mit D := D(f_{n}) = [0, 1] durch die Zuordnungsvorschrift

f_{n}(x) := \begin{cases}1 − 2^{n}x & , falls 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2^{n}} \\ 0 & , falls \frac{1}{2^{n}} < x ≤ 1 \end{cases}

definiert. Skizzieren Sie f_{1} und f_{2} sowie qualitativ f_{n} und untersuchen Sie die Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ} hinsichtlich punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz auf D.

(G 5) Taylorentwicklung

Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f(x) = ln x um den Punkt 1 und deren Konvergenzradius.

Hausübungen

(A 20) Potenzreihen (10 Punkte)

(a) Wir definieren \binom{λ}{k} := \frac{λ·(λ−1)···(λ−k+1)}{k!} für beliebige λ ∈ ℝ, k ∈ ℕ. Berechnen Sie den Konvergenzradius R der Reihe ∑_{k=N}^{∞} \binom{λ}{k}z^{k}. Hängt R von N ab?

(b) Es sei φ(z) := ∑_{k=0}^{∞} \binom{λ}{k}z^{k}. Beweisen Sie φ(z) = (1 + z)^{λ}.

Hinweis: Zeigen Sie (1 + z)φ′(z) = λφ(z). Benutzen Sie die Aussage ”f′(z) = g′(z) ⇒ f(z) = g(z) + c”.

(c) Berechnen Sie die Taylorreihe von f(z) := \frac{1}{1+z^{2}} im Nullpunkt.

(d) Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung des Arcustangens arctan : ℝ → ℝ um den Nullpunkt.

Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Ableitung des Arcustangens und benutzen Sie Teilaufgabe (c).

(A 21) Potenzreihen (10 Punkte)

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen:

(a) ∑_{k=0}^{∞}(k + sin(k))(x − 2)^{k}  (b) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}x^{k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{2^{k}}{k^{2}} (x − 1)^{5k}
(d) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k+1} x^{2k+1}.

(A 22) (10 Punkte)

Fertigen Sie eine Skizze der Funktion

f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & für & x > 0 \\ 0 & sonst \end{matrix}

an. Beweisen Sie, daß diese Funktion beliebig oft differenzierbar ist und berechnen Sie die Taylorreihe T_{f} um den Punkt 0. Stimmen T_{f} und f auf einer Nullumgebung B_{ϵ}(0) (ϵ > 0) überein?