Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 23. Mai 2007

Mathe II

6. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Konvergenz

(a) Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge im normierten Raum V und (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} eine Teilfolge von (x_{n})_{n∈ℕ}. Konvergiert auch die Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}?

(b) Es sei sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Folge im normierten Raum V mit konvergenter Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Konvergiert dann auch die Folge (x_{n})_{n∈ℕ}?

(G 2) Normen Es sei ∥·∥_{p} : ℝ^{n} → ℝ die durch ∥x⃗∥_{p} = \sqrt[p]{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}} gegebene p-Norm (p ≥ 1). Für p = ∞ setzt man ∥x⃗∥_{∞} = max_{1≤i≤n}{|x_{i}|}.

(a) Skizziere die Einheitskugeln bezüglich der 1-Norm, der 2-Norm und der Norm ∥ · ∥_{∞}.

(b) Beweisen Sie, daß die obigen 3 Normen äquivalent sind, d.h. daß es für alle p, p′ ∈ {1, 2, ∞} Konstanten c und d gibt, welche die Gleichung c · ∥ · ∥_{p} ≤ ∥ · ∥_{p|} ≤ d · ∥ · ∥_{p} erfüllen.

(G 3) Potenzreihen Wir betrachten die Potenzreihe ∑_{n} x^{n}.

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius.

(b) Konvergiert die Reihe punktweise auf dem Intervall [0, 1]? Konvergiert sie dort gleichmäßig?

(c) Konvergiert die Reihe punktweise auf dem Intervall [0, \frac{1}{2}]? Konvergiert sie dort gleichmäßig? (G 4) Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Bestimmen Sie für die Funktionenfolgen (f_{k})_{k∈ℕ} und (g_{k})_{k∈ℕ} jeweils den Grenzwert bezüglich punktweiser Konvergenz und entscheiden Sie, ob sie gleichmäßig konvergieren:

(a) f_{k}: ℝ → ℝ, x ↦ \sqrt{x^{2} + \frac{1}{k}} (b) g_{k}: ℝ → ℝ, x ↦ ∑_{j=0}^{k} \frac{1}{j!}x^{j}

(G 5) Punktweise/Gleichmäßige Konvergenz Wir betrachten eine Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ}:

f_{n} : ℝ → ℝ, f_{n}(x) := \{ \begin{matrix}x − n & falls & n ≤ x ≤ n + 1 \\ n + 2 − x & falls & n + 1 ≤ x ≤ n + 2 \\ 0 & sonst \end{matrix}

(a) Skizzieren Sie die ersten Folgeglieder.

(b) Konvergiert die Folge f_{n} punktweise oder sogar gleichmäßig?

Hausübungen

(A 17) Funktionenräume (10 Punkte) Es seien a, b ∈ ℝ reelle Zahlen, so daß a < b gilt. Auf dem Vektorraum C([a, b], ℝ) der stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] definieren wir eine Abbildung ∥·∥_{∞} : C([a, b], ℝ) → ℝ durch ∥f∥_{∞} = sup{|f(x)| | x ∈ [a, b]}.

(a) Warum existiert das Supremum in obiger Definition?

(b) Zeigen Sie, daß ∥ · ∥_{∞} eine Norm ist.

(c) Es sei P die Menge aller Polynomfunktionen auf [a, b]. Ist P ein Untervektorraum von C([a, b], ℝ)?

(d) Beweisen Sie, daß die Einschränkung exp |_{[a,b]} nicht in P liegt.

(e) Ist P abgeschlossen in C([a, b], ℝ)?

Hinweis: Benutze (d)

(A 18) Potenzreihen (10 Punkte)

(a) Gegeben sei die Potenzreihe

∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}n2^{n} · (x − 2)^{n} .

(i) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.

(ii) Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Potenzreihe konvergiert.

(b) Zeigen Sie, daß die folgende Funktionenreihe

∑_{n=0}^{∞} [x^{n}(1 − x)] , x ∈ ℝ,

auf dem Intervall [0, 1] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.

(A 19) Punktweise/Gleichmäßige Konvergenz (10 Punkte) Wir betrachten die Funktionenreihe

∑_{n=1}^{∞} f_{n} mit f_{n}(x) = \frac{x^{n−1}}{n} .

(a) Zeigen Sie, dass diese Reihe für alle x ∈ (−1, 1) konvergiert.

(b) Beweisen Sie, dass für jedes λ ∈ (0, 1) die Konvergenz auf dem Intervall [−λ, λ] sogar gleichmäßig ist.