Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 23. Mai 2007

Mathe II

5. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Spiegelungen Es sei g die Gerade durch den Ursprung, die mit der positiven x-Achse im ℝ^{2} im Gegenuhrzeigersinn den Winkel γ ∈ [0, 2π] einschließt und σ_{g} : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Orthogonalspiegelung an der Geraden g.

(a) Bestimmen Sie eine Basis von g.

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatix [σ_{g}]_{K_{2}}^{K_{2}} zur Abbildung σ_{g}.

(G 2) Es seien u, v ∈ ℝ^{3} linear unabhängige Vektoren. Wie sehen die reellen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der folgenden linearen Abbildungen aus:

(a) Spiegelung an der von u und v aufgespannten Ebene,

(b) Projektion auf die von u und v aufgespannte Ebene,

(c) Drehung um die Achse, die von v erzeugt wird.

(G 3) Es sei V ein ℂ-Vektorraum mit hermitescher Form ⟨·, ·⟩. Weiterhin sei A : V → V eine ℂ-lineare Abbildung mit adjungierter Abbildung A^{∗} (,d.h. es gilt ⟨A(v), w⟩ = ⟨v, A^{∗}(w)⟩ für alle v, w ∈ V). Beweisen Sie Ker A = (Im A^{∗})^{⊥} und Im A = (Ker A^{∗})^{⊥}.

(G 4) Direkte Summen/Eigenräume Es sei A : V → V eine diagonalisierbare 𝕂-lineare Selbstabbildung des 𝕂-Vektorraumes V. Beweisen Sie, daß die Summe der eigenräume

∑_{λ istEigenwertvonA} Eig(A, λ)

direkt ist und daß V = ⊕_{λ}Eig(A, λ) gilt.

(G 5) Quadriken Es sei

A = (\begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix}2\sqrt{2} \\ −2\sqrt{2} \end{matrix}) und c = \frac{1}{3}.

Von welchem Kurventyp ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung

x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0?

Skizzieren Sie die Lösungsmenge im ursprünglichen Koordinatensystem.

Hausübungen

(A 13) Quadriken (10 Punkte) Für die Quadrik Q gelte

Q = {x ∈ ℝ^{n} | λ_{1}x_{1}^{2} + … + λ_{n}x_{n}^{2} = 0},

Welche geometrischen Objekte treten für n = 2 und n = 3 auf, wenn alle λ_{i} ungleich Null sind?

(A 14) (10 Punkte) Berechnen Sie die Signatur der Matrix

A = (\begin{matrix}2 & −i & −2i & 0 \\ i & 2 & 1 & 0 \\ 2i & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

(A 15) (10 Punkte) Es seien A, B : V → V diagonalisierbare 𝕂-lineare Selbstabbildungen des 𝕂-Vektorraumes V.

(a) Ist A ∘ B diagonalisierbar?

(b) Ist A ∘ B im Falle A ∘ B = B ∘ A diagonalisierbar?