Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 8. Mai 2007

Mathe II

4. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Basen

Betrachten Sie die folgenden Teilmengen des ℝ^{3}:

U = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})\} , V = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})\} , W = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})\} .

Bei welchen handelt es sich um ein Erzeugendensystem und bei welchen um eine Basis des ℝ^{3}?

(G 2)

Berechne eine Orthonormalbasis des ℝ^{3} bezüglich des durch ⟨x, y⟩ = x^{T} Ay mit

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 5 \end{matrix} ) definierten Skalarprodukts.

(G 3) Determinanten und Basiswechsel

Die lineare Funktion L : ℝ^{3} → ℝ^{3} sei durch die Darstellungsmatrix

[L]_{K_{3}}^{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

bezüglich der Standardbasis K_{3} gegeben.

(a) Berechnen Sie die Determinante det[L]_{K_{3}}^{K_{3}}

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [L]_{B}^{B} von L bezüglich der Basis

B = \{(\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})\} .

(c) Berechnen Sie die Determinante det[L]_{B}^{B} und vergleichen Sie sie mit det[L]_{K_{3}}^{K_{3}}. Erklären Sie Ihr Ergebnis.

(G 4) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden reellwertigen Matrix:

A := ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} ) .

(G 5) Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & −3 & −3 \\ −2 & −1 & −2 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

Hausübungen

(A 10) Basen (10 Punkte) Für a = 2 und a = −2 betrachte man die Matrix

A := ( \begin{matrix}−1 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 0 & a − 2 & a \end{matrix} ) .

(a) Berechnen Sie in beiden Fällen die Eigenwerte der Matrix A.

(b) Im Fall a = 2 besitzt A Eigenvektoren, die eine Orthonormalbasis {u_{1}, u_{2}, u_{3}} des ℝ^{3} bilden, d.h. jeweils Länge 1 haben und aufeinander senkrecht stehen. Bestimmen Sie eine solche Basis und verifizieren Sie, daß für die Matrix U = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

U^{−1}AU = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix} )

gilt, wobei λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} die Eigenwerte von A sind. (Beachten Sie, daß Matrizen, deren Spaltenvektoren Länge 1 haben und aufeinander senkrecht stehen, orthogonale Matrizen sind, d.h. daß U^{−1} = U^{T} gilt.)

(c) Gibt es auch im Fall a = −2 eine Basis des ℝ^{3} aus Eigenvektoren von A?

(A 11) Eigenwerte und Eigenvektoren (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −6 & 3 & −1 \\ 6 & −2 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

(A 12) (10 Punkte)

Es sei

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Geben Sie eine Matrix S an, für die S^{−1}AS diagonal ist und berechnen Sie S^{−1}AS. Gibt es auch einer orthogonale solche Matrix S?