Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 7. Mai 2007

Mathe II

3. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Darstellungsmatrix

Es sei M ∈ ℝ^{m×n} einer reelle m×n-Matrix. Durch L(x⃗) = M ·x⃗ wird eine lineare Abbildung L : ℝ^{n} → ℝ^{m} definiert.

(a) Die Bilder L(e⃗_{j}) der Basisvektoren sind Linearkombinationen ∑_{i} c_{j}^{i}e⃗_{i} der Basisvektoren e⃗_{i} ∈ K_{m}. Geben Sie die Koeffizienten c_{j}^{i} mit Hilfe der Matrix M an.

(b) Geben sie die Matrix [L]_{K_{n}}^{K_{m}} bezüglich der Standardbasen K_{n} und K_{m} an.

(G 2) Basiswechsel

Es seien V = ℝ^{3} und W = ℝ^{2} zwei reelle Vektorräume. Die Standardbasen K_{m} und K_{n} definieren zwei Isomorphismen ϕ_{K_{m}} : V → ℝ^{m} und ϕ_{K_{n}} : W → ℝ^{n} (vergl. Vorlesung). Weiterhin sei durch die reelle Matrix

M = (\begin{matrix}4 & 1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix})

vermöge L(x⃗) = M · x⃗ eine lineare Abbildung L : V → W definiert.

(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [L]_{K_{m}}^{K_{n}} bezüglich der Standardbasen K_{m} und K_{n}.

(b) Es seien B = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix})\} und C = \{(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})\} zwei weitere Basen

von V bzw. W. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen T = [ϕ_{K_{3}} ∘ ϕ_{B}^{−1}]_{K_{2}}^{B} und S = [ϕ_{K_{2}} ∘ ϕ_{B}^{−1}]_{K_{2}}^{C}.

(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [L]_{B}^{C} bezüglich der Basen B und C.

(G 3) Vandermonde-Determinante

Die Vandermonde Matrix V (x_{1}, …, x_{n}) für ein n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}) ist durch

V (x_{1}, …, x_{n}) = (\begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ⋯ & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix})

gegeben.

(a) Berechnen Sie die Determinanten der Vandermonde-Matrizen V (x_{1}, x_{2}) und V (x_{1}, x_{2}, x_{3}). Schreiben Sie das Ergebnis als Produkt von Differenzen.

(b) Stellen Sie eine Vermutung für die allgemeine Vandermonde-Determinante detV (x_{1}, …, x_{n}) auf und beweisen Sie diese. Hinweis: Erzeugen Sie durch Spaltenoperationen möglichst viele Nullen in der ersten Zeile und entwickeln Sie dann nach der ersten Zeile.

(G 4) Es sei v, e ∈ ℝ^{2} und es gelte ∥e∥ = 1. Weiter sei a := ⟨v, e⟩e und b := v − a. Zeigen Sie, daß a und b orthogonal sind, und fertigen Sie eine Skizze an. Welche geometrische Bedeutung hat das Skalarprodukt ⟨v, e⟩? (G 5) Führe das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren mit den Vektoren

b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) , b_{2} = (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , b_{3} = (\begin{matrix}−1 \\ 10 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

aus. Welches Problem tritt dabei auf und was ist dessen Ursache?

Hausübungen

(A 7) (10 Punkte) Konstruieren Sie eine Orthogonalbasis des ℂ^{3}, in der der Vektor (1−i, 1+i, 2i)^{T} vorkommt. (A 8) Determinanten (8 Punkte) Für n ≥ 2 berechne man

f(x) := det ( \begin{matrix}x & 1 & … & 1 \\ 1 & x & … & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & … & x \end{matrix} )

(die Matrix sei in ℝ^{n×n}) und gebe f(0) sowie alle Nullstellen von f an. (A 9) (10 Punkte)

Sei A = ( \begin{matrix}−2 & 6 \\ −2 & 5 \end{matrix} ) .

(a) Für λ ∈ ℝ sei B_{λ} = A − λE_{2}. Berechne Werte λ_{1} und λ_{2} ∈ ℝ, so daß det(B_{λ_{i}}) = 0.

(b) Finde Vektoren v_{1} und v_{2}, die V_{1} := ker B_{λ_{1}} bzw. V_{2} := ker B_{λ_{2}} erzeugen. Zeige, daß V die direkte Summe von V_{1} und V_{2} ist.

(c) Die Matrix A beschreibt eine lineare Abbildung bezüglich der Standardbasis. Berechne die Matrix dieser Abbildung bezüglich der neuen Basis B′.

(d) Sei L : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung und seien v, w ∈ ℝ^{2} \ {0} zwei Vektoren, so

daß

L(v) = λv L(w) = μw mit λ, μ ∈ ℝ und λ ≠ μ

Bilden die Vektoren v, w immer eine Basis von ℝ^{2}?