Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 23. April 2007

Mathe II

2. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Basiswechsel

Im ℝ-Vektorraum ℝ^{2} betrachten wir die Standardbasis K_{2} (auch kanonische Basis genannt),

die Basis B : ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ), sowie den Endomorphismus ϕ ∈ End(ℝ^{2}), der durch die

Matrix

[ϕ]_{K_{2}}^{K_{2}} := ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} )

gegeben ist.

(a) Bestimme [ϕ]_{B}^{B}.

(b) Gegeben seien weiterhin Vektoren v, w ∈ ℝ^{2} durch [v]_{K_{2}} := ( \begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix} ) und [w]_{B} :=

( \begin{matrix}−2 \\ 3 \end{matrix} ). Bestimme [v]_{B} und [w]_{K_{2}} sowie [ϕ(v)]_{B} und [ϕ(w)]_{K_{2}}.

(G 2) Skalarprodukt/Hermitesches Skalarprodukt

(a) Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Beweisen Sie die folgende Gleichheit:

⟨x, y⟩ = \frac{1}{4}||x + y||^{2} − \frac{1}{4}||x − y||^{2}.

(b) Es sei V ein unitärer Vektorraum. Beweisen Sie die folgende Gleichheit:

⟨x, y⟩ = \frac{1}{4}||x + y||^{2} − \frac{1}{4}||x − y||^{2} − \frac{i}{4}||x + iy||^{2} + \frac{i}{4}||x − iy||^{2}.

(G 3) Orthonormalisierung

Gegeben seien die Vektoren

b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , b_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , b_{3} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) .

(a) Konstruiere eine Orthonormalbasis der linearen Hülle lin(b_{1}, b_{2}, b_{3}).

(b) Zeige, daß der Vektor v = (\frac{3}{2} \frac{1}{2} −\frac{5}{2} \frac{9}{2})^{T} in der lineare Hülle lin(b_{1}, b_{2}, b_{3}) liegt und stelle ihn als Linearkombination der in Teil a konstruierten Basis dar.

(G 4) Berechnen Sie für jede reelle Zahl b ∈ ℝ die Determinante der Matrizen

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}b & 0 & 0 & 1 \\ 0 & b & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 \\ 1 & 0 & 0 & b \end{matrix} )

1. durch Spalten- und Zeilenumformungen.

2. durch Entwicklung nach der zweiten Zeile.

3. mit der Regel von Sarrus (falls möglich).

Hausübungen

(A 4) (10 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß durch ⟨A, B⟩ := tr(B^{T} A) der Raum ℝ^{m×n} der reellen m × n- Matrizen mit einem euklidischen Skalarprodukt ausgestattet wird.

(b) Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Einheitsmatrix E_{2} und der Matrix

A := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) .

(A 5) (10 Punkte) Wir betrachten den reellen Vektorraum Raum V aller Polynome vom Grad höchstens 2 auf dem Einheitsintervall. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarproduktes

⟨p, q⟩ := ∫_{0}^{1} q(x)q(x) dx

. Hinweis: Sie können mit der Basis 1, x, x^{2} beginnen.

(A 6) (10 Punkte) Bestimmen Sie die Determinanten der Matrizen

A = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}3 & 7 & −4 \\ 2 & 5 & 3 \\ 9 & 2 & 0 \end{matrix}) und C = (\begin{matrix}3 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 8 & 8 & 9 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \end{matrix}) .