Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Fels Martin Fuchssteiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2007 18. April 2007

Mathe II

1. Übung

Gruppenübungen

(G 1)

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

(a) f : ℝ^{2} → ℝ mit f(x, y) = xy

(b) f : ℝ^{2} → ℝ^{2} mit f(x, y) = (2y, x + y)

(c) f : C^{1}(ℝ) → C^{0}(ℝ) mit (f(u))(x) = u′(x)

Kommentar zur Notation: C^{1}(ℝ)) steht für den Vektorraum aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen u : ℝ → ℝ und C^{0}(ℝ) für den Vektorraum aller stetigen Funktionen u : ℝ → ℝ.

(G 2)

Skizzieren Sie die Mengen ℝ · e_{1} + e_{2}, {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x_{1} ≤ 1 und 0 ≤ x_{2} ≤ 4} und {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 1} sowie ihre Bilder unter den folgenden linearen Abbildungen:

(a) f_{1}(x_{1}, x_{2}) = (5x_{1}, 5x_{2}) (b) f_{2}(x_{1}, x_{2}) = (7x_{1}, x_{2}) (c) f_{3}(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{1} + x_{2})

(G 3)

Es sei ℝ[x]_{3} der ℝ-Vektorraum aller reellen Polynome höchstens dritten Grades.

(a) Ist die Ableitung p ↦ p′ eine lineare Abbildung auf ℝ[x]_{3}? (Beweis!)

(b) Geben sie für die 2-fache Ableitung p ↦ p′′ die beschreibende Matrix bezüglich der Basis {1, x, x^{2}, x^{3}} an.

(G 4)

Eine lineare Abbildung ϕ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} sei durch ϕ((1, −1)) = (1, 0) und ϕ((1, 2)) = (0, 1) gegeben. Berechnen Sie ϕ((2, 1)) sowie den Vektor v mit ϕ(v) = (2, 1).

(G 5)

(a) Es sei φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} die lineare Abbildung, welche die Spiegelung an der Winkelhalbierenden des zweiten und vierten Quadranten beschreibt. Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix, d.h. ermitteln Sie diejenige Matrix A_{φ}, bezüglich der

φ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = A_{φ} (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

für alle (x, y)^{T} ∈ ℝ^{2} gilt.

(b) Die lineare Abbildung ψ : ℝ^{2} → ℝ^{3} sei durch

ψ (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix}) und ψ (\begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) .

bestimmt. Ermitteln Sie erneut die Matrix A_{ψ} welche die Abbildung ψ bezüglich der Standardbasen des ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} beschreibt.

(c) Bestimmen Sie die zu ψ ∘ φ gehörige Abbildungsmatrix.

Hausübungen

(A 1) (10 Punkte)

Es sei x = (x, y)^{T}. Welche der folgenden Abbildungen von ℝ^{2} nach ℝ^{2} sind linear?

(a) f_{1}(x) := ( \begin{matrix}x − 2 \\ 3y \end{matrix} )  (b) f_{2}(x) := ( \begin{matrix}2x + y \\ y − x \end{matrix} )  (c) f_{3}(x) := ( \begin{matrix}2x − 3y \\ 0 \end{matrix} )

(d) f_{4}(x) := ( \begin{matrix}x^{2} \\ 2y \end{matrix} )

Bestimmen Sie die Matrizen bezüglich der Standardbasis zu den linearen unter den obigen Abbildungen.

(A 2) (12 Punkte)

Die komplexen Vektorräume ℂ^{n} sind auf natürliche Weise ℝ-Vektorräume. Die komplexen Zahlen ℂ z.B. bilden einen ℝ-Vektorraum mit der Basis {1, i}. So besitzt die komplexe Zahl 3 − 5i bezüglich der obigen Basis die Koordinaten (3, −5). Die Abbildung f : ℂ → ℂ : x ↦ xi, die eine komplexe Zahl mit i multipliziert, wird bezüglich dieser Basis durch die Abbildungsmatrix

A_{f} = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

beschrieben. Welche der folgenden Abbildungen sind ℝ-linear?

(a) f_{1} : ℂ^{2} → ℂ : (x, y) ↦ x + y (b) f_{2} : ℂ^{2} → ℂ : (x, y) ↦ xy (c) f_{3} : ℂ → ℂ : x ↦ \overline{x} (d) f_{4} : ℂ → ℂ : x ↦ cx

Hierbei ist c ∈ ℂ und \overline{x} = \overline{a + bi} := a − bi bezeichnet die komplex Konjugierte von x.

Geben Sie bei den Abbildungen, die ℝ-linear sind, die Abbildungsmatrix (bezüglich der Standardbasis {1, i} für ℂ bzw. {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} für ℂ^{2}) an.

(A 3) (12 Punkte)

Wir betrachten die ℝ-Vektorräume ℝ^{2} und ℝ^{3} und in diesen die Basen B := {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} bzw. C := {(0, 1), (1, 0)}. Eine lineare Abbildung ψ ∈ Hom(ℝ^{3}, ℝ^{2}) sei bezüglich dieser Basis durch die Matrix

[ψ]_{B}^{C} := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} )

beschrieben.

(a) Bestimmen Sie die Matrix, welche ψ bezüglich der Standardbasen K_{2} von ℝ^{2} und K_{3} von ℝ^{3} beschreibt.

(b) Weiterhin sei ein Vektor v ∈ ℝ^{3} durch [v]_{K_{3}} := (7, 8, 9) gegeben. Bestimmen Sie das Bild [ψ(v)]_{C}.