Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter Dr. M. Geißert Dr. H. Heck

SS 2006 04.05.2006

2. Übungsblatt zur

Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Gruppenübung

Aufgabe G1

Sei A ∈ ℝ^{3×3} gegeben durch

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie nacheinander die Matrizen

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) · A, A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · A_{1}

und

A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) · A_{2}.

Beschreiben Sie die Wirkung der Matrixmultiplikation auf die Matrizen A_{i}.

Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix B, so dass B · A_{3} eine obere Dreiecksmatrix ist. Welchen Rang hat die Matrix A.

Lösung: Es gilt

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) · A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} )

A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −3 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} )

2. Übung Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

und

A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) · A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Mit der Matrix B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) erhält man über B · A_{3} die obere Dreiecksmatrix

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Da A_{3} den Rang 3 hat, gilt dies auch für die Matrix A.

Aufgabe G2

Betrachten Sie für die folgenden vier Matrizen jeweils die Mengen der Spaltenvektoren. Stellen Sie fest, welche dieser Mengen linear (un-)abhängig sind. Untersuchen Sie weiterhin, ob die lineare Hülle der jeweiligen Menge gleich ℝ^{3} ist und ob diese Menge eine Basis des ℝ^{3} bildet.

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}3 & 3 & 3 & 5 \\ 5 & 3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \end{matrix} ) C = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) D = ( \begin{matrix}0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix} )

Bestimmen Sie weiterhin alle Vektoren v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) mit Dv = 0.

Lösung:

A : linear abhängig (s_{3} = 2 · s_{1} + (−1) · s_{2}), da diese Menge drei Elemente enthält, kann Lin(s_{1}, s_{2}, s_{3}) = ℝ^{3} nicht gelten, insbesondere ist die Menge keine Basis.

B: linear abhängig (4 Vektoren im ℝ^{3} sind immer linear abhängig!), Lin(s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}) = ℝ^{3}, da s_{1}, s_{2}, s_{3} linear unabhängig sind, (Überprüfung durch LGS!), keine Basis.

C: linear abhängig (s_{3} = 0 · s_{1} + 0 · s_{3}), wie bei A folgt Lin(s_{1}, s_{2}, s_{3}) ≠ ℝ^{3}, keine Basis.

D: linear unabhängig, Lin(s_{1}, s_{2}, s_{3}) = ℝ^{3}, Basis.

Aus Teil D folgt, dass nur v = 0 der Gleichung Dv = 0 genügt.

Hausübung

Aufgabe H1

Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix B, so dass B · A eine obere Dreiecksmatrix ist. Prüfen Sie dies anhand einer Proberechnung nach! Lösen Sie anschließend das lineare Gleichungssystem

Ax = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) .

Lösung: Wir multiplizieren die Matrix A nacheinander mit Elementarmatrizen und erhalten

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} ) = A_{1}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) · A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) = A_{2}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & −4 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) = A_{3}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) · A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} ) = A_{4}.

Da A_{4} eine obere Dreiecksmatrix ist, folgt

B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 0 \\ −1 & 2 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) .

Um das LGS zu lösen, multiplizieren wir die Gleichung von links mit der Matrix B. Wir erhalten somit

(B · A)x = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} ) x = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 0 \\ −1 & 2 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) .

2. Übung Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Die Lösung lässt sich nun einfach ablesen. Es gilt

x_{3} = 0, x_{2} = −1 + 4x_{3} = −1, x_{1} = 1 − 0x_{2} − 3x_{3} = 1.

somit ist x = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) die Lösung der Gleichung. Aufgabe H2

Überprüfen Sie, ob die Spaltenvektoren s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4} der Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 17 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & −1 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

linear unabhängig sind. Geben Sie eine Basis des Unterraums U = Lin(s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}) ⊆ ℝ^{4} an. Lösung: Die Spaltenvektoren sind linear abhängig:

(−23) · s_{1} + 1 · s_{2} + 2 · s_{3} = 0.

Weiterhin sind s_{1}, s_{2}, s_{4} linear unabhängig und bilden eine Basis von U.