Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter Dr. M. Geißert Dr. H. Heck

SS 2006 27.04.2006

1. Übungsblatt zur

Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Gruppenübung

Aufgabe G1

Seien A, B ∈ ℝ^{3×3} gegeben durch

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}2 & 3 & −1 \\ −1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie die Matrizen A · B und B · A, sowie A + B und B + A.

Lösung: Es gilt

A · B = ( \begin{matrix}4 & 4 & 1 \\ −1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & −3 \end{matrix} ) B · A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ −1 & 1 & −1 \\ 3 & 0 & −1 \end{matrix} )

und

A + B = B + A = ( \begin{matrix}3 & 2 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} )

Aufgabe G2

Gegeben sei die Matrix

A = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 4 & −3 \end{matrix} ) .

1. Übung Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Wir betrachten die Abbildung x ↦ Ax mit D(A) = ℝ^{2}. Berechnen Sie das Bild der Punkte (1, 0)^{T} , (0, 1)^{T} , (2, 1)^{T} und (−1, 2)^{T}. Veranschaulichen Sie sich die Wirkung der Abbildung auf die gegebenen Punkte anhand einer Skizze. Wie würden Sie diese Abbildung geometrisch beschreiben?

Lösung: Es gilt

A ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ) , A ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}4 \\ −3 \end{matrix} ) ,

A ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) , A ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) .

Die Abbildung beschreibt die Spiegelung an der Geraden durch den Ursprung mit Richtungsvektor (2, 1)^{T}.

Aufgabe G3

Wir definieren die Menge der Polynome als

P := {p : D(p) = ℝ → ℝ : ∃ n ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{n} ∈ ℝ : p(x) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}x^{i}}.

Desweiteren definieren wir die Addition und die Skalarmultiplikation für Elemente p, q ∈ P durch

(p + q)(x) := p(x) + q(x) und (λ · p)(x) := λ · p(x).

(a) Zeigen Sie, dass P ein Vektorraum über ℝ ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge {1, x, x^{2}, …, x^{n}} für jedes n ∈ ℕ linear unabhängig ist. Welche Dimension hat der Vektorraum P?

Lösung: (a) Wir überprüfen die Vektorraumaxiome:

(i): Da 0+p(x) = p(x)+0 = p(x) gilt, ist das neutrale Element bzgl. der Addition das Polynom o(x) = 0. Das inverse Element zu p ∈ P bzgl. der Addition ist i(x) := −p(x), da i(x) + p(x) = −p(x) + p(x) = 0 = o(x). Außerdem gilt p(x) + q(x) = q(x) + p(x). Also ist die Addition von p und q kommutativ. Das Assoziativgesetz folgt ebenso, da ((p + q) + v)(x) = (p(x) + q(x)) + v(x) = p(x) + (q(x) + v(x)) = (p + (q + v))(x), für alle p, q, v ∈ P.

(ii): Seien λ, μ ∈ ℝ und p, q ∈ P. Dann gilt

(λ(μp))(x) = (λ(μp)(x)) = ((λμ)p(x)) = ((λμ)p)(x)

und (1p)(x) = 1p(x) = p(x). Außerdem gelten die Distributivgesetze

((λ + μ)p)(x) = ((λ + μ)p(x)) = λp(x) + μp(x)

und

(λ(p + q))(x) = λ(p(x) + q(x)) = λp(x) + λq(x).

Damit sind die Vektorraumaxiome für P erfüllt.

(b) Wir zeigen, dass für jedes n ∈ ℕ die Aussage 0 = ∑_{i=0}^{n} α_{i}x^{i} mit α_{i} ∈ ℝ ⇒ α_{i} = 0 gilt. Aus dem ersten Semester wissen wir, dass jedes Polynom p ≠ 0 vom Grad n höchstens n reelle Nullstellen hat. Gilt 0 = ∑_{i=0}^{n} α_{i}x^{i}, so ist jede reelle Zahl Nullstelle des Polynoms p(x) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}.

Hausübung

Aufgabe H1

(a) Gegeben sei die 2 × 2-Matrix

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ,

wobei a, b, c, d ∈ ℝ mit ad − bc ≠ 0. Zeigen Sie, dass die zu A inverse Matrix gegeben ist durch

A^{−1} = \frac{1}{ad − bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ) .

(b) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

( \begin{matrix}2 & −1 \\ 4 & 3 \end{matrix} ) x = ( \begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix} ) , x ∈ ℝ^{2}.

(c) Gegeben Sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) .

Berechnen Sie A^{42}.

Hinweis: Die Matrix beschreibt die Drehung um den Ursprung mit Winkel \frac{π}{2} .

Lösung:

(a) A · A^{−1} = E nachrechnen!

(b) nach (a) gilt

( \begin{matrix}2 & −1 \\ 4 & 3 \end{matrix} )^{−1} = \frac{1}{10} ( \begin{matrix}3 & 1 \\ −4 & 2 \end{matrix} )

damit gilt

x = \frac{1}{10} ( \begin{matrix}3 & 1 \\ −4 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}2 \\ 5 \end{matrix} ) = \frac{1}{10} ( \begin{matrix}11 \\ 2 \end{matrix} )

(c) Da 42 mod 4 = 2 ist A^{42} die Drehung mit Winkel π und damit

A^{42} = A^{2} = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

Aufgabe H2 Wir betrachten die Vektoren

p_{1}(x) = 1 + x, p_{2}(x) = x + x^{2}, p_{3}(x) = x^{2} − 1 p_{4}(x) = x ∈ P,

wobei P der Vektorraum der Polynome aus Aufgabe G3 ist.

(a) Entscheiden Sie, ob die Mengen {p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}} bzw. {p_{1}, p_{2}} linear unabhängig sind.

(b) Bestimmen Sie die lineare Hülle von {p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}}.

Lösung: (a) Die Menge {p_{1}, p_{2}, p_{3}} ist linear abhängig, da x^{2} − 1 = x + x^{2} − (1 + x) folgt p_{3} = p_{2} − p_{1}, also auch 0 = p_{2} − p_{1} − p_{3}. Damit ist diese Menge nicht linear unabhängig. Die Menge {p_{1}, p_{2}} ist linear unabhängig, da sonst αp_{1} = p_{2} für ein α ≠ 0 gelten müsste. Setzt man x = 0 in die Gleichung α(1 + x) = x + x^{2} so folgt α = 0 und damit ist {p_{1}, p_{2}} linear unabhängig.

(b) Aus dem (a)-Teil wissen wir, dass p_{3} = p_{2} − p_{1}. Wir zeigen nun, dass {p_{1}, p_{2}, p_{4}} linear unabhängig ist. Gilt 0 = α_{1}(1 + x) + α_{2}(x + x^{2}) + α_{3}x, so folgt durch Einsetzen von x = 0, dass α_{1} = 0 sein muss. Das heißt es gilt 0 = (α_{2} + α_{3})x + α_{2}x^{2}. Einsetzen von x = −1 liefert α_{3} = 0. Damit folgt aber (z.B. mit x = 1) auch, dass 0 = 2α_{2} also α_{2} = 0 und dies liefert die lineare Unabhängigkeit von {p_{1}, p_{2}, p_{4}}. Damit gilt Lin(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}) = Lin(p_{1}, p_{2}, p_{4}) = {q = α_{1}p_{1} + α_{2}p_{2} + α_{3}p_{4} : α_{1}, α_{2}, α_{3} ∈ ℝ}. Da 1 = p_{1} − p_{4} und x^{2} = p_{2} − p_{4} folgt, dass die lineare Hülle von {p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}} gerade aus den Polynomen mit Grad höchstens 2 besteht.