Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter M. Fuchssteiner Dr. M. Slassi

SS 2009 01.7.2009

12. Übungsblatt zur

Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Gruppenübung

Aufgabe G1

Gegeben seien die Mengen G_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

und G_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}.

(a) Skizzieren Sie die Mengen G_{1} und G_{2}.

(b) Berechnen Sie die Integrale

∫_{G_{1}} y(1 − x) d(x, y), ∫_{G_{2}} y(1 − x) d(x, y).

Aufgabe G2

Haben die folgenden Functionen f_{i} : G_{i} → ℝ ein globales Maximum oder Minimum?

(a) f_{1} : G_{1} = {(x, y) | y ≤ x} → ℝ, f_{1}(x, y) = 10x^{2} + 5xy − y^{2}

(b) f_{2} : G_{2} = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1\} → ℝ, f_{2}(x, y) = (sin \sqrt{x^{2} + 3 + y})e^{x^{2} tan(y^{2}+1)} Aufgabe G3

Es sei durch Q = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : 1 ≤ x_{1} ≤ 3, 1 ≤ x_{2} ≤ 2, −1 ≤ x_{3} ≤ 1} und die Dichtefunktion ρ : Q → ℝ, ρ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{2}(x_{1} − 2)^{2} exp(−x_{3}) ein inhomogener Quader gegeben. Berechnen Sie die Gesamtmasse

M := ∫_{Q} ρ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) d(x_{1}, x_{2}, x_{3})

sowie den Schwerpunkt S = (S_{1}, S_{2}, S_{3}), gegeben durch

S_{i} := \frac{1}{M} ∫_{Q} x_{i}ρ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) d(x_{1}, x_{2}, x_{3}), i = 1, …, 3,

des Quaders. Zeigen Sie zunächst, dass die Integrale existieren.

Hinweis: \frac{d}{dz} ((z + 1) exp(−z)) = −z exp(−z).

Hausübung

Freiwillige Abgabe

Aufgabe H1

(a) Sei Q = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 5} und f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x, y) = cos(2πx)e^{3y}.

i. Skizzieren Sie Q und entscheiden Sie, ob ∫_{Q} f(x, y)d(x, y) existiert. ii. Prüfen Sie, ob die iterierten Integrale

∫_{1}^{2}[∫_{3}^{5} f(x, y) dy] dx und ∫_{3}^{5}[∫_{1}^{2} f(x, y) dx] dy

übereinstimmen.

(b) Sei G = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 1 ≤ x ≤ 4, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ π}. Berechnen Sie

∫_{G}(x^{3}y cos(z) − 3e^{x}y^{2} + 2xy sin(z)) d(x, y, z).

Aufgabe H2

Gegeben seien die Funktionen f : ℝ^{2} → ℝ,f(x, y) = exp(x + 2y) und g : ℝ^{2} → ℝ, g(x, y) = x^{2} + y^{2} − 4 sowie die Mengen M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : g(x, y) = 0} und N = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : g(x, y) ≤ 0} . Bestimmen Sie die globalen Extrema von f|_{M} und f|_{N}. Begründen sie dabei zuerst, weshalb globale Minima bzw. Maxima für beide Probleme existieren.