Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter M. Fuchssteiner Dr. M. Slassi

SS 2009 24.6.2009

11. Übungsblatt zur

Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und VI

Gruppenübung

Aufgabe G1

Es seien f : ℝ^{3} → ℝ^{2} und g : ℝ^{2} → ℝ mit

f(x, y, z) := ( \begin{matrix}xyz \\ −xyz \end{matrix} ) und g(x, y) := x^{3} + y^{3} − 3xy

gegeben.

(a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von g.

(b) Ist die Frage nach lokalen Extrema von f sinnvoll? Begründen Sie ihre Antwort.

Aufgabe G2

Bestimmen Sie mit Hilfe einer Lagrange-Funktion die Extremalwerte von f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x, y) = xy,

unter der Nebenbedingung g(x, y) = x^{2} + 2y^{2} − 1 = 0. Ist diese Aufgabe auch mit den Methoden aus dem ersten Semester lösbar? Geben Sie gegebenfalls die Vorgehensweise an.

Aufgabe G3

Bestimmen Sie drei positive Zahlen, deren Summe gleich 90 und deren Quadratsumme minimal ist. Interpretieren Sie das Problem zunächst geometrisch, berechnen Sie dann ein lokales Extremum mit Hilfe einer geeigneten Lagrange-Funktion und begründen Sie dann geometrisch, wieso das gefundene lokale Extremum ein Minimum ist.

Hausübung

Aufgabe H1

Sei f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x, y) := x^{2} + xy + y^{2} + x + y + 1.

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema.

Aufgabe H2

Betrachten Sie zylindrische Dosen. Es bezeichne r den Radius einer Dose und h die Höhe. Die Oberfläche O beträgt dann O(r, h) = 2πr^{2} + 2πrh und das Volumen V (r, h) = πr^{2}h. Berechnen Sie die minimale Oberfläche einer Dose mit Hilfe einer Lagrange-Funktion bei einem Dosenvolumen von 1000 Volumeneinheiten. Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, dass die gefunden Stelle das gesuchte Minimum ist.