Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter M. Fuchssteiner Dr. M. Slassi

SS 2009 27.5.2009

7. Übungsblatt zur

Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo und UI

Gruppenübung

Aufgabe G1

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden linearen Abbildungen. (Machen Sie sich zuvor die geometrische Bedeutung von Eigenwerten klar.)

(a) f_{1} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f_{1} beschreibt die Spiegelung an der Geraden G = Lin\{( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} )\}.

(b) f_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f_{2} beschreibt die Drehung um den Winkel \frac{π}{2} gegen den Uhrzeiger-

sinn mit Drehachse Lin\{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\}.

(c) f_{3} : ℝ^{3} → ℝ^{3}, f_{3} beschreibt die orthogonale Projektion auf die x_{1}-Achse.

Aufgabe G2

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Aufgabe G3

Gegeben sei

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −6 & 3 & −1 \\ 6 & −2 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

Hausübung

Aufgabe H1 Bestimmen Sie reelle Zahlen a, b ∈ ℝ so, daß die Matrix

( \begin{matrix}0 & 2 & 0 \\ 2 & 2a & a \\ 0 & b & 0 \end{matrix} )

symmetrisch ist und die Eigenwerte 0, −2 und 2 besitzt. Wie lauten zugehörige Eigenvektoren?

Aufgabe H2 Gegeben sei

A = ( \begin{matrix}−1 & −3 & −3 \\ −2 & −1 & −2 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix

T an, so daß T^{−1}AT = D gilt. Aufgabe H3

Gegeben seien die Vektoren b_{1} = (1 1 1 1)^{T}, b_{2} = (1 0 1 0)^{T} und b_{3} = (2 1 1 2)^{T}. Es sei U der von den Vektoren b_{1}, b_{2} und b_{2} aufgespannte Untervektorraum des ℝ^{4}. Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Punktes b_{4} = (1, 1, 0, 0)^{T} auf den Untervektorraum U.