Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter M. Fuchssteiner Dr. M. Slassi

SS 2009 07.05.2009

4. Übungsblatt zur Mathematik II

Gruppenübung

Aufgabe G1

(a) Es seien n ∈ ℕ und A, B ∈ ℝ^{n,n} Diagonalmatrizen, d.h.

A = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & a_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & a_{n} \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}b_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & b_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & b_{n} \end{matrix} )

mit reellen Zahlen a_{1}, …, a_{n} und b_{1}, …, b_{n}. i. Berechnen Sie A · B ii. Für welche Zahlen a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ ist die Matrix A invertierbar? Geben Sie gegebe-

nenfalls die Inverse an.

(b) Es sei n ∈ ℕ und A ∈ ℝ^{n,n}, so dass E_{n} − A invertierbar ist. Zeigen Sie, dass dann gilt:

(E_{n} − A)^{−1} = E_{n} + A(E_{n} − A)^{−1}

(c) Es sei C ∈ ℝ^{n,n} eine quadratische Matrix mit 2C = C^{2} − E_{n}. Zeigen Sie: C ist invertierbar.

Aufgabe G2

Bestimmen Sie jeweils eine Matrix A ∈ ℝ^{m,3} und einen Vektor b ∈ ℝ^{m} für ein geeignetes m ∈ ℕ, so dass das lineare Gleichungssystem Ax = b die Lösungsmengen

G = \{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) : λ ∈ ℝ\} bzw. E = \{( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + μ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) : λ, μ ∈ ℝ\}

hat.

Aufgabe G3

Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrizen.

A = ( \begin{matrix}1 & 3 \\ −4 & −5 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 7 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 42 & 1 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 13 & 1 & 3 \end{matrix} ) .

Hausübung

Aufgabe H1 Wir betrachten die Matrix

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 2 & 4 & −2 \\ −1 & −2 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von A und Rang(A).

(b) Lösen Sie (falls möglich) die LGSe Ax = b und Ax = c, mit

b := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) und c = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(c) Bestimmen Sie alle b ∈ ℝ^{3} für die das LGS Ax = b eine Lösung besitzt. (Dazu muss man

jetzt nicht mehr rechnen!) Aufgabe H2

Es seien die drei Punkte x_{0} := (1, 0, 1)^{T}, x_{1} = (0, 1, 1)^{T} und x_{2} = (1, 1, 0)^{T} in ℝ^{3} gegeben.

(a) Verifizieren Sie, dass die Vektoren x_{1} − x_{0} und x_{2} − x_{0} linear unabhängig sind.

(b) Betrachten Sie die durch x_{0}, x_{1} und x_{2} aufgespannte Ebene

E = {x ∈ ℝ^{3} : x = x_{0} + λ(x_{1} − x_{0}) + μ(x_{2} − x_{0}); λ, μ ∈ ℝ} .

Geben Sie ein LGS an, dessen Lösungsmenge E ist. Aufgabe H3

Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Für beliebige Matrizen A, B ∈ ℝ^{n,n} gilt immer:

Wahr Falsch □ □ det(AB) = det(A) · det(B) □ □ det(A + B) = det(A) + det(B) □ □ Rang(A · B) = Rang(A) · Rang(B) □ □ Rang(A + B) = Rang(A) + Rang(B)

Folgende Abbildungen φ : V → V bzw. φ : V → ℝ sind linear: Wahr Falsch

□ □ Der Vektorraum V ist der Vektorraum der reellen Polynome und φ(p) = p′. □ □ Der Vektorraum V = C([0, 1]) ist der Vektorraum aller reellen stetigen funktionen auf

dem Einheitsintervall [0, 1], x ∈ [0, 1] fix und [0, 1] und φ(f) = f(x).

□ □ V = ℝ, φ(v) = sin(v). □ □ V = ℝ, φ(v) = 1.