Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 12. Juni 2006

Analysis IV

8. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Meßbare Mengen und Funktionen

(a) Zeigen Sie, dass jede abzählbare Teilmenge von ℝ eine Borelmenge ist. Ist die folgende Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ?

f(x) := \{ \begin{matrix}x & falls x ∈ ℚ; \\ 0 & sonst ? \end{matrix}

(b) Es sei (X, S) ein Messraum und (X_{n})_{n∈ℕ} eine Folge meßbarer Mengen X_{n} ∈ S mit Vereinigung ⋃_{n∈ℕ} X_{n} = X. Zeigen Sie: Eine Teilmenge A⊆X ist meßbar (also A ∈ S) genau dann, wenn A ∩ X_{n} ∈ S für alle n ∈ ℕ.

Lösung:

(a) Für jedes x ∈ ℝ ist die einpunktige Menge {x} abgeschlossen und somit eine Borelmenge. Ist A⊆ℝ abzählbar, so ist also A = ⋃_{x∈A}{x} ∈ B(ℝ) als abzählbare Vereinigung von Borelmengen.

Wenn Sie wollen, können Sie auch A = {x_{n} : n ∈ ℕ} schreiben und erhalten A = ⋃_{n∈ℕ}{x_{n}} ∈ B(ℝ).

Nach dem Vorigen ist ℚ ∈ B(ℝ) und somit auch ℚ^{c} = ℝ \ ℚ ∈ B(ℝ). Um f auf Meßbarkeit zu überprüfen, sei A⊆B(ℝ).

Ist 0 ∉ A, so ist f^{−1}(A)⊆ℚ abzählbar und somit eine Borelmenge. Ist 0 ∈ A, so ist f^{−1}(A) = ℚ^{c} ∪ (f^{−1}(A) ∩ ℚ), wobei ℚ^{c} und die abzählbare Menge f^{−1}(A) ∩ ℚ Borelmengen sind. Folglich ist auch ihre Vereinigung f^{−1}(A) eine Borelmenge. Also ist f meßbar.

(b) Ist A ∈ S, so ist auch X_{n} ∩ A ∈ S als Schnitt zweier meßbarer Mengen. Ist Umgekehrt A⊆X eine Teilmenge derart, dass A ∩ X_{n} ∈ S für alle n ∈ ℕ, so ist

A = X ∩ A = ( ⋃_{n∈ℕ}X_{n}) ∩ A = ⋃_{n∈ℕ}(X_{n} ∩ A) ∈ S

als abzählbare Vereinigung meßbarer Mengen. Das letzte Gleichheitszeichen beruht hierbei auf Aufgabe G1 (a).

(G 2) Meßbar oder nicht?

Wir betrachten die von der Menge E := {{1, 2, 3}, {3, 4}} erzeugte σ-Algebra S := σ(E) auf X := {1, 2, 3, 4}. Untersuchen Sie die Funktion f: (X, S) → (ℝ, B(ℝ)) auf Meßbarkeit:

(a) f(x) := (x − 3)^{2} , (b) f(x) := |x − \frac{3}{2}|.

Lösung:

(a) Da einpunktige Teilmengen {y} in ℝ abgeschlossen und somit Borelmengen sind, gilt f^{−1}({y}) = {x ∈ X : f(x) = y} ∈ S, falls f meßbar ist. Für die vorgegebene Funktion f ist jedoch f^{−1}({3}) = {x ∈ {1, 2, 3, 4}: (x − 3)^{2} = 4} = {1} ∉ S. Also ist f nicht meßbar.

(b) Erste Lösung: Die Funktion g nimmt drei Werte an; ihr Bild ist im(g) = \{\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}\}. Jede der Mengen

g^{−1}({1/2}) = {1, 2} , g^{−1}({3/2}) = {3} , und g^{−1}({5/2}) = {4}

ist meßbar (also ein Element von S). Für das Urbild jeder Menge A ∈ B(ℝ) gilt dann

g^{−1}(A) = g^{−1}(A ∩ im(g)) = g^{−1} ( ⋃_{y∈A∩im(g)}{y}) = ⋃_{y∈A∩im(g)} g^{−1}({y}) ∈ S ,

denn g^{−1}(A) ist eine endliche Verenigung von Mengen aus S. Hierbei wurde für das letzte Gleichheitszeichen die Operationentreue der Urbildabbildung benutzt.

Zweite Lösung: Nach Folgerung 1.27 (e) ist die Funktion g genau dann meßbar, wenn g^{−1}(]−∞, b]) ∈ S für alle b ∈ ℝ. Dies aber ist der Fall, denn es ist

g^{−1}(]−∞, b]) = \{ \begin{matrix}∅ & falls b < \frac{1}{2} ; \\ \{1, 2\} & falls b ∈ [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}[ \\ \{1, 2, 3\} & falls b ∈ [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}[ \\ \{1, 2, 3, 4\} & falls b ≥ \frac{5}{2} . \end{matrix}

(G 3) Stückweise definierte Funktionen

Es seien (X, A) und (Y, B) meßbare Räume sowie {A_{i}}_{i∈I} eine Überdeckung von X durch meßbare Mengen A_{i}. Zeigen Sie, daß jede Funktion f : X → Y, deren Einschränkungen f_{|A_{i}} : A_{i} → Y meßbar sind, meßbar ist.

Lösung:

Ist B ⊂ Y eine meßbare Menge, so gilt f^{−1}(B) = ⋃_{i∈I} f_{|A_{i}}^{−1}(B). Die Mengen f_{|A_{i}}^{−1}(B) sind nach Annahme meßbar. Weiterhin gilt f^{−1}(B) ∩ A_{i} = f_{|A_{i}}^{−1}(B). Nach aufgabe G1 (b) ist f^{−1}(B) somit meßbar. Daher ist f eine meßbare Funktion.

(G 4) Eine stückweise definierte Funktion

Ist die durch

f(x) := \{ \begin{matrix}sin x & wenn x ∈ ℚ; \\ cos x & wenn x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

definierte Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ?

Lösung:

Die Borelmengen X_{1} := ℚ und X_{2} := ℝ \ ℚ überdecken ℝ (also ℝ = X_{1} ∪ X_{2}). Nach Satz 1.36 über stückweise meßbare Funktionen ist f meßbar, wenn f|_{X_{k}}: (X_{k}, B(ℝ)|_{X_{k}}) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ist für k ∈ {1, 2}. Dies aber ist der Fall: Nach Satz 1.32 ist nämlich B(ℝ)|_{X_{k}} = B(X_{k}). Da f|_{X_{1}} = sin |_{X_{1}} und f|_{X_{2}} = cos |_{X_{2}} stetig sind, ist

f_{k}|_{X_{k}} : (X_{k}, B(X_{k})) = (X_{k}, B(ℝ)|_{X_{k}}) → (ℝ, B(ℝ))

meßbar nach Folgerung 1.26.

Hausübungen

(H 1)

wir betrachten die reellen Zahlen mit der Borel-σ-Algebra. Es sei f : ℝ → ℝ eine monotone Funktion. Ist f meßbar?

Lösung:

Die Funktion f ist meßbar. Wir nehmen an, daß f monoton steigend ist. Es genügt zu zeigen, daß die Urbilder der Mengen ] − ∞, r], r ∈ ℝ meßbar sind. Da die Funktion f monoton steigend ist, gilt f^{−1}(]−∞, r]) =]−∞, a] oder f^{−1}(]−∞, r]) =]−∞, a[ mit a ∈ ℝ (wobei a = ∞ möglich ist). Somit ist f meßbar. Im Falle einer monoton fallenden Funktion geht man analog vor.

(H 2) Meßbar oder nicht?

Entscheiden Sie, ob die folgende Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ist:

f(x) := \{ \begin{matrix}[\frac{1}{x}] · x & falls x ≠ 0 ; \\ 0 & falls x = 0 . \end{matrix}

Lösung:

Die Funktion f ist meßbar. Um dies einzusehen, schauen wir zunächst die Funktion x↦[\frac{1}{x}] genauer an. Diese ist stückweise konstant: Für x ∈ ℝ \ {0} gilt

[\frac{1}{x}] = \{ \begin{matrix}n & falls x ∈ ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] =: X_{n} für ein n ∈ ℤ \ \{0, −1\}; \\ 0 & falls x ∈ \{0\} ∪ [1, ∞[ =: X_{0} ; \\ −1 & falls x ∈ ]−∞, −1] =: X_{−1}. \end{matrix}

Hier ist ⋃_{n∈ℤ} X_{n} = ℝ, und jedes X_{n} ist eine Borelmenge. Für n ∈ ℤ ist

f|_{X_{n}}: X_{n} → ℝ , x↦nx

stetig, also ist f|_{X_{n}} : (X_{n}, B(X_{n})) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar. Da B(X_{n}) = B(ℝ)|_{X_{n}} gilt , ist f|_{X_{n}}: (X_{n}, B(ℝ)|_{X_{n}}) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar. Somit ist auch f meßbar.

Alternativer Beweis: f ist ein Produkt der meßbaren Funktion x↦x und einer Funktion, welche sich schreiben lässt als Komposition der Gaußklammer (deren Meßbarkeit bereits gezeigt wurde) und der Funktion 0 ≠ x↦1/x; 0↦0 (deren Meßbarkeit ebenfalls schon gezeigt wurde). Da Kompositionen und Produkte meßbarer Funktionen meßbar sind, ist f meßbar.