Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 5. Juni 2006

Analysis IV

7. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Verknüpfung meßbarer Funktionen

Es seien (X, A), (Y, B) und (Z, D) meßbare Räume sowie g : X → Y und f : Y → Z zwei meßbare Funktionen. Beweisen Sie, daß die Verknüpfung f ∘ g meßbar ist.

Lösung:

Es sei D ∈ D eine meßbare Menge in Z. Da f meßbar ist, ist auch die Menge f^{−1}(D) meßbar (in Y). Weil auch g meßbar ist, folgt somit daß die Menge g^{−1}(f^{−1}(D)) = (f ∘ g)^{−1}(D) meßbar ist. Somit ist f ∘ g eine meßbare Funktion.

(G 2) Operationen auf meßbaren Funktionen

Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Es seien f : ℝ → ℝ und g : ℝ → ℝ zwei meßbare Funktionen. Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) f + g  (b) min{f, g}  (c) max{f, g}  (d) f · g  (e) |f|

Lösung:

• Da die Addition stetig ist, ist sie auch meßbar. Somit ist f + g eine Verknüpfung meßbarer Funktion und daher meßbar.

• Es genügt die Meßbarkeit der Urbilder (min{f, g})^{−1}(O) offener Intervalle O zu zeigen. Da die Menge alller offener Intervalle von der Menge aller (halb)offen Intervalle der Form (−∞, a] bzw. (−∞, a] erzeugt wird, genügt es, solche Intervalle zu bertrachten. Da sowohl f als auch g meßbar sind, sind die Urbilder f^{−1}((−∞, a]) und g^{−1}((−∞, a]) von Intervallen der Form (−∞, a] meßbar. weiterhin gilt (min{f, g})^{−1}((−∞, a]) = f^{−1}((−∞, a]) ∪ g^{−1}((−∞, a]), d.h. diese Mengen sind meßbar. Das gleiche gilt für die Intervalle der Sorte (−∞, a]. Somit ist min{f, g} meßbar.

• Es genügt die Meßbarkeit der Urbilder (max{f, g})^{−1}(O) offener Intervalle O zu zeigen. Da die Menge alller offener Intervalle von der Menge aller (halb)offen Intervalle der Form (a, ∞) bzw. [a, ∞) erzeugt wird, genügt es, solche Intervalle zu bertrachten. Da sowohl f als auch g meßbar sind, sind die Urbilder f^{−1}((a, ∞)) und g^{−1}((a, ∞)) von Intervallen der Form (a, ∞) meßbar. weiterhin gilt (max{f, g})^{−1}((a, ∞)) = f^{−1}((a, ∞))∪ g^{−1}((a, ∞, a)), d.h. diese Mengen sind meßbar. Das gleiche gilt für die Intervalle der Sorte [a, ∞). Somit ist max{f, g} meßbar.

• Da die Multiplikation stetig ist, ist sie auch meßbar. Somit ist f · g eine Verknüpfung meßbarer Funktion und daher meßbar.

• Da die Norm |·| stetig ist, ist sie auch meßbar. Somit ist |f| eine Verknüpfung meßbarer Funktion und daher meßbar.

(G 3) charakteristische Funktionen

Es sei (X, A) ein meßbarer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge von X. Zeigen Sie, daß die charakteristische Funktion χ_{A} von A genau dann meßbar ist, wenn A ∈ A gilt, d.h. wenn A meßbar ist.

Lösung:

Ist die charakteristische Funktion χ_{A} von A meßbar, so ist auch A = χ_{A}^{−1}(1) meßbar. Die möglichen Urbilder der charakteristische Funktion χ_{A} sind nach Definition die Mengen X, A, X \ A und die leere Menge ∅. Ist also A meßbar, so sind alle möglichen Urbilder meßbar. Somit ist in diesem Fall auch χ_{A} meßbar.

(G 4) Nicht meßbare Funktionen

Geben Sie ein Beispiel einer nicht meßbaren Funktion (auf ℝ) an.

Lösung:

Ein Beispiel sind charakteristische Funktionen nicht meßbarer Mengen, z.B. die der Menge aus Aufgabe G2, 5. Übung.

(G 5) Zerlegung meßbaren Funktionen

Es sei (X, A) ein meßbarer Raum und B(ℝ) die Borel-σ-Algebra auf ℝ. Beweisen Sie, daß eine Funktion f : X → ℝ genau dann meßbar ist, wenn die Funktionen f^{+} := max(f, 0) und f^{−} := max(−f, 0) meßbar sind.

Lösung:

Ist die Funktion f meßbar, so sind nach Aufgabe 2 auch die Funktionen f^{+} und f^{−} meßbar. sind umgekehrt f^{+} und f^{−} meßbar, so ist f = f^{+} − f^{−} auch meßbar, da die subtraktion eine stetige und somit meßbare Funktion ist.

Hausübungen

(H 1) Meßbarkeit von Funktionen

Untersuchen Sie folgende reelle Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) [•] : ℝ → ℝ, [x] = max\{n ∈ ℕ | n ≤ x\} (b) f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} & falls & x ≠ 0 \\ 0 & falls & x = 0 \end{matrix}

Lösung:

• Für alle Teilmengen M ⊂ ℤ von ℤ gilt [•]^{−1}(M) = ⋃_{n∈𝕄}[n, n + 1). Somit ist die Funktion [•] meßbar.

• Es genügt die Urbilder offener Mengen zu betrachten. Ist O eine offene Menge, so gilt

f^{−1}(O) = f^{−1}(O ∩ ℝ^{×}) ∪ f^{−1}(O ∩ {0})

Die Menge f^{−1}(O ∩ {0}) ist höchstens einpunktig, also meßbar. Die Menge f^{−1}(O) = f^{−1}(O ∩ ℝ^{×}) ist das Urbild der offenen Menge O ∩ ℝ^{×} unter der stetigen Funktion f_{|ℝ^{×}}, und somit offen in ℝ^{×}. Daher ist sie auch offen in ℝ und somit meßbar. Damit ist das Urbild von O als Vereinigung meßbarer Mengen wieder meßbar.

(H 2) Operationen auf meßbaren Funktionen

Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Weiterhin sei f_{n} : ℝ → ℝ, n ∈ ℕ eine Folge meßbare Funktionen. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) sup{f_{n} | n ∈ ℕ} (b) lim sup{f_{n} | n ∈ ℕ}

Lösung:

• Es genügt die Meßbarkeit der Urbilder (sup{f_{n} | n ∈ ℕ})^{−1}(O) offener Intervalle O zu zeigen. Da die Menge alller offener Intervalle von der Menge aller offen Intervalle der Form (a, ∞) erzeugt wird, genügt es, solche Intervalle zu bertrachten. Da alle f_{n} meßbar sind, sind die Urbilder f_{n}^{−1}((a, ∞)) von Intervallen der Form (a, ∞) meßbar. Weiterhin gilt (sup{f_{n} | n ∈ ℕ})^{−1}((a, ∞)) = ⋃_{n∈ℕ} f^{−1}((a, ∞)), d.h. diese Mengen sind meßbar. Somit ist sup{f_{n} | n ∈ ℕ} meßbar.

• Es gilt lim sup{f_{n} | n ∈ ℕ} = lim_{n→∞} sup{f_{k} | k ≥ n}. Die Funktion lim sup{f_{n} | n ∈ ℕ} ist also der Grenzwert der monton fallenden Folge meßbarer Funktionen sup{f_{k} | k ≥ n}. wie zuvor genügt es die Meßbarkeit der Urbilder (sup{f_{n} | n ∈ ℕ})^{−1}(O) offener Intervalle O zu zeigen. Da die Menge alller offener Intervalle von der Menge aller offen Intervalle der Form (a, ∞) erzeugt wird, genügt es, solche Intervalle zu bertrachten. Da alle f_{n} meßbar sind, sind nach a) auch die Funktionen sup{f_{k} | k ≥ n} meßbar. Es gilt (lim sup{f_{n} | n ∈ ℕ})^{−1}((a, ∞)) = ⋂_{n∈ℕ}(sup{f_{k} | k ≥ n})^{−1}((a, ∞)). Somit ist diese Funktion meßbar.