Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 30. Mai 2006

Analysis IV

6. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Lesbesgue-Borel Maß einiger Borelmengen Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Berechnen Sie das Lesbesgue-Maß der folgenden Mengen:

(a) ]0, 1[  (b) [0, 1]  (c) {0}  (d) ℚ  (e) [0, 1] ∩ ℚ  (f) [0, 1] \ ℚ

Lösung:

• λ(]0, 1[) = 1 nach Definition des Lesbesgue-Maßes.

• λ([0, 1]) = λ (⋂_{n∈ℕ}(−\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n})) = lim λ((−\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n})) = 1

• λ(\{0\})λ (⋂_{n∈ℕ}(−\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = lim λ((−\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = 0

• Da ℚ eine abzählbare Vereinigung von Punkten ist, gilt λ(ℚ) = 0.

• λ([0, 1] ∩ ℚ) = 0

• [0, 1] \ ℚ = λ([0, 1]) − λ([0, 1] ∩ ℚ) = 1 − 0 = 1

(G 2) Hyperebenen

(a) Welches Maß hat die n − 1-Fläche [0, 1]^{n−1} × {0} im ℝ^{n}?

(b) Welches Maß hat die Hyperebene ℝ^{n−1} × {0} im ℝ^{n}?

(c) Welches Maß haben beliebige affine Ebenen geringerer dimension im ℝ^{n}?

Lösung:

• λ([0, 1]^{n−1} × \{0\}) = λ (⋂_{n∈ℕ}[0, 1]^{n−1} × (−\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = lim_{n→∞} \frac{2}{n} = 0.

• ℝ^{n−1} ×{0} = ⋃_{x_{1},...,x_{n−1}∈ℕ}[x_{1}, x_{1} +1]×⋯×[x_{n−1}, x_{n−1} +1]×{0} ⟶ λ(ℝ^{n−1} ×{0}) = ∑_{x_{1},...,x_{n−1}} 0 = 0

• Eine affine Ebene E in ℝ^{n} hat die Form E = v + O(ℝ^{p}), wobei O eine orthogonale Abbildung ist und p ≤ n gilt. Für p < n folgt aus der Transformationsformel λ(E) = 0.

(G 3) Die verallgemeinerte Cantormenge Es sei (α_{n}) eine Folge reeller Zahlen mit α_{n} ∈]0, 1[ für alle n ∈ ℕ. Wir definieren nun eine Folge A_{n} von Teilmengen von ℝ. A_{0} = [0, 1] sei das Einheitsintervall. Aus A_{0} entfernen wir das offene Teilintervall der Länge α_{1} mit Mittelpunkt \frac{1}{2} und definieren A_{1} als die Vereinigung der verblieben Intervalle I_{1,1} und I_{1,2}. Die Mengen A_{n} werden nun rekursiv definiert. Haben wir A_{n} als vereinigung der Intervalle I_{n,1}, …, I_{n,2^{n}} erhalten so entfernen wir aus den Intervallen I_{n,j} die offenen Teilintervalle α_{n+1}I_{n,j}, deren Mittelpunkte mit denen von I_{n,j} übereinstimmen und erhalten die Menge A_{n+1} als Vereinigung der verbleibenden Intervalle I_{n+1,1}, …, I_{n,2^{n+1}}. Den Schnitt C = ⋂ A_{n} nennen wir eine verallgemeinerte Cantor-Menge. Beweisen sie λ(C) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − α_{n})

Lösung:

Wir zeigen λ(A_{n}) = ∏_{k=1}^{n}(1−α_{k}) für n > 0 mit Induktion über n. Für das einheitsintervall A_{0} gilt λ(A_{0}) = 1. Ist A_{n} die Vereinigung der Intervalle I_{n,1}, …, I_{n,2^{n}}, so haben die Intervalle I_{n+1,2j} und die Länge \frac{1}{2}(1 − α_{n+1})λ(αI_{n,j}). Die Vereinigung A_{n+1} dieser 2^{n+1} Intervalle hat daher das Maß (1 − α_{n+1})λ(A_{n}). Somit folgt λ(A_{n}) = ∏_{k=1}^{n}(1 − α_{k}) für alle n > 0. Da diese Folge streng monoton fallend ist und nach unten beschränkt ist, existiert ihr Grenzwert. Es folgt λ(C) = λ (⋂ A_{n}) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − α_{n}).

(G 4) Dichte, offene Mengen von kleinem Maß

(a) Da ℚ eine abzählbare unendliche Menge ist, gibt es eine Bijektion q : ℕ → ℚ, n ↦ q_{n}. Zeigen Sie, dass die Menge

ℝ \ ⋃_{n∈ℕ} ]q_{n} − 2^{−n}, q_{n} + 2^{−n}[

nicht leer ist.

(b) Finden Sie zu ε > 0 eine offene Teilmenge U ⊆ ℝ vom Maß λ(U) ≤ ε derart, dass U in ℝ dicht ist (d.h. daß U ∩ V ≠ ∅ für jede nicht-leere offene Teilmenge V ⊆ ℝ gilt).

Lösung:

(a) Wir haben zu zeigen, dass U := ⋃_{n∈ℕ} ]q_{n} − 2^{−n}, q_{n} + 2^{−n}[ eine echte Teilmenge von ℝ ist. Da λ(ℝ) = lim_{n→∞} λ([−n, n[) = ∞, brauchen wir hierzu nur λ(U) < ∞ nachzuweisen. Nach Lemma 2.4 (e) ist tatsächlich

λ(U) ≤ ∑_{n=1}^{∞} λ(]q_{n} − 2^{−n}, q_{n} + 2^{−n}[) = ∑_{n=1}^{∞} 2 · 2^{−n} = 2 < ∞ .

(b) Gegeben ε > 0 setzen wir U := ⋃_{n∈ℕ} ]q_{n} − \frac{ε}{2} · 2^{−n}, q_{n} + \frac{ε}{2} · 2^{−n}[. Dann ist U offen als Vereinigung offener Mengen. Da ℚ dicht in ℝ ist und ℚ ⊆ U, ist weiter U dicht in ℝ. Schließlich zeigt die gleiche Rechnung wie in (a), dass λ(U) ≤ ∑_{n=1}^{∞} 2 \frac{ε}{2} 2^{−n} = ε.

(G 5) Urbilder borelscher Mengen

Es sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine stetige Funktion. Beweisen Sie, daß Urbilder von Borelmengen unter f wieder Borelmengen sind.

Lösung:

Da f stetig ist, sind Urbilder offener Mengen wieder offen also insbesondere Borelmengen. Da die Menge T aller offenen Mengen die Borel-σ-Algebra B(ℝ^{n}) erzeugt, folgt f^{−1}(B(ℝ^{n})) = f^{−1}(σ(T )) ⊂ B(ℝ^{n}).

Hausübungen

(H 1) Bilder stetiger Funktionen

Zeigen Sie, daß das Bild einer stetigen Funktion f : ℝ → ℝ^{2} in ℝ^{2} nicht immer Maß 0 hat.

Hinweis: Betrachten Sie eine Peano-Kurve.

Lösung:

Es sei p : I → [0, 1]^{2} eine Peano-Kurve, d.h. eine stetige surjektive Abbildung. Das Maß des Bildes λ(p(I)) = λ([0, 1]^{2}) ist somit 1.

(H 2) Etwas verzwicktere Teilmengen

Für n ∈ ℕ sei A_{n} die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung bis zur Stelle n keine 7 enthält, A die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung keine 7 enthält sowie B die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung mindestens eine 7 enthält. (Hierbei betrachten wir nur Dezimalbrüche ohne Neunerperiode). Zeigen Sie, dass A_{n}, A und B Borelmengen sind und berechnen Sie das Lebesgue-Borel-Maß dieser Mengen.

Lösung:

Die Menge J_{n} := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}^{n} aller n-Tupel aus von 7 verschiedenen Ziffern hat 9^{n} Elemente, und es ist

A_{n} = ⋃_{(d_{1},...,d_{n})∈J_{n}}[0.d_{1} ⋯ d_{n}, 0.d_{1} ⋯ d_{n} + 10^{−n}[ .

Als endliche Vereinigung halboffener Intervalle ist A_{n} eine Borelmenge. Da die beteiligten Intervalle paarweise disjunkt sind, folgt

λ(A_{n}) = ∑_{(d_{1},...,d_{n})∈J_{n}} λ( [0.d_{1} ⋯ d_{n}, 0.d_{1} ⋯ d_{n} + 10^{−n}[ ) = ∑_{(d_{1},...,d_{n})∈J_{n}} 10^{−n} = 9^{n} · 10^{−n} ,

also λ(A_{n}) = (\frac{9}{10})^{n}. Weiter ist A = ⋂_{n∈ℕ} A_{n} ∈ B(ℝ), und da A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯ und λ(A_{1}) < ∞, folgt mit Lemma 2.4 (d)

λ(A) = lim_{n→∞} λ(A_{n}) = lim_{n→∞} (\frac{9}{10})^{n} = 0 .

Weiter ist B = [0, 1[ \A ∈ B(ℝ) und λ(B) = λ([0, 1[) − λ(A) = 1 − 0 = 1.