Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 16. Mai 2006

Analysis IV

4. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Urbilder von σ-Algebren

Es sei f : X → Y eine Abbildung und S eine σ-Algebra auf Y. Beweisen Sie, daß das Urbild f^{−1}(S) ⊂ P(X) von S unter f eine σ-Algebra ist.

Lösung:

Wir Überprüfen die Axiome S1–S3 einer σ-Algebra, unter Benutzung der “Operationentreue der Urbild-Abbildung”.

S1: Da ∅ ∈ S, ist ∅ = f^{−1}(∅) ∈ f^{−1}(S)

S2: Ist B ∈ f^{−1}(S), so existiert A ∈ S mit B = f^{−1}(A). Dann ist A^{c} ∈ S und somit B^{c} = f^{−1}(A^{c}) ∈ f^{−1}(S).

S3: Sind B_{1}, B_{2}, … ∈ f^{−1}(S), so existiert zu jedem n ∈ ℕ eine Menge A_{n} ∈ S mit Urbild f^{−1}(A_{n}) = B_{n}. Dann ist ⋃_{n∈ℕ} A_{n} ∈ S und somit

⋃_{n∈ℕ}B_{n} = ⋃_{n∈ℕ}f^{−1}(A_{n}) = f^{−1}( ⋃_{n∈ℕ}A_{n}) ∈ f^{−1}(S).

(G 2) Äußere Maße

Es sei E ⊂ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge P(X) von X für die ∅, X ∈ E gilt sowie ϱ : E → [0, ∞] eine Funktion die ϱ(∅) = 0 erfüllt. Weiterhin sei μ^{∗} das von ϱ induzierte äußere Maß auf X.

(a) Gilt μ^{∗} ≤ ϱ auf E ?

(b) Beweisen Sie, daß für jedes äußere Maß τ auf X aus τ ≤ ϱ auf E schon τ ≤ μ^{∗} folgt.

Lösung:

(a) Für alle A ∈ E gilt A ⊂ A ⋃_{n=2}^{∞} ∅ somit folgt μ^{∗}(A) ≤ ϱ(A) + ∑_{n=2}^{∞} ϱ(∅) = ϱ(A).

(b) Es sei τ ein äußeres Maß auf X. Für jede Teilmenge A von X mit A ⊂ ⋃_{n=2}^{∞} A_{n} und A_{n} ∈ E gilt τ(A) ≤ ∑_{n=1}^{∞} τ(A_{n}). Somit folgt τ ≤ μ^{∗}.

(G 3) Stetigkeit von oben

Es sei μ das Zählmaß auf ℝ und A_{n} := (0, \frac{1}{n}) eine fallende Folge von Teilmengen. Berechnen Sie lim_{n→∞} μ(A_{n}) und μ (⋂_{n∈ℕ} A_{n}). Warum steht dies nicht im Widerspruch zum Satz über induzierte äußere Maße ?

Lösung:

Es gilt μ(A_{n}) = ∞ für alle n ∈ ℕ. Aus ⋂_{n∈ℕ} A_{n} = ∅ folgt μ (⋂_{n∈ℕ} A_{n}) = 0. Dies steht nicht im Widerspruch zu o.g. Satz, da dieser die Endlichkeit des Maßes einer der Mengen A_{n} als Vorraussetzung hat.

(G 4) Fortsetzung von Maßen

Es sei E = P(ℚ) ⊂ P(ℝ) und ϱ das Zählmaß auf ℚ.

(a) Bestimmen Sie das von ϱ induzierte äußere Maß μ^{∗} auf ℝ. Wie läßt sich μ^{∗} sinnvoll auf Teilmengen von ℝ definieren, welche nicht durch Mengen A_{n} ∈ E überdeckt werden können?

(b) Finden Sie eine weitere Fortsetzung von ϱ, welche nicht mit μ^{∗} übereinstimmt.

Lösung:

(a) Es sei A eine Teilmenge von ℝ. Falls es keine Überdeckung von A durch Mengen A_{n} aus E gibt, setzen wir μ^{∗}(A) = ∞. Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine irrationale Zahl x ∈ A gibt. Ansonsten gilt μ^{∗}(A) = ϱ(A).

(b) Das Zählmaß auf ℝ ist eine andere Fortsetzung von ϱ zu einem Maß auf ℝ.

(G 5) Einschränkung von Maßen

Es sei (X, S, μ) ein Maßraum und Y ∈ S eine meßbare Teilmenge. Wir betrachten die Menge S_{|Y} := {A ∈ S | A ⊂ Y } und die Einschränkung μ_{|Y} := μ_{|S_{|Y}}. Zeigen Sie, daß (Y, S_{Y} , μ_{|Y}) ein Maßraum ist.

Lösung:

Wir zeigen zuerst, daß S_{|Y} wieder eine σ-Algebra ist. Da die Menge Y meßbar ist, gilt S_{|Y} := {A ∈ S | A ⊂ Y } = {A ∩ Y | A ∈ S}. Somit folgt:

S1 Es gilt ∅ = ∅ ∩ Y ∈ S_{|Y}.

S2 Ist B ∈ S_{|Y}, so ist B = A ∩ Y für eine Menge A ∈ S_{|Y}. Wir formen dies wie folgt um:

(X \ A) ∩ Y = \underbrace{(X ∩ Y)}_{=Y} \ \underbrace{(A ∩ Y)}_{=B} = Y \ B .  (1)

Da X \ A ∈ S, ist die linke Seite von (1) in S|_{Y} und somit auch Y \ B ∈ S_{|Y}.

S3 Ist (B_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Mengen B_{n} ∈ S_{|Y}, so gibt es für jedes n eine Menge A_{n} ∈ S mit B_{n} = A_{n} ∩ Y. Mit Aufgabe G1 (a) und ⋃_{n∈ℕ} A_{n} ∈ S folgt nun

⋃_{n∈ℕ}B_{n} = ⋃_{n∈ℕ}(A_{n} ∩ Y) = ( ⋃_{n∈ℕ}A_{n}) ∩ Y ∈ S|_{Y} .

Da das Maß μ_{|Y} die Einschränkung des Maßes μ von S auf S_{|Y} ist, ist μ_{|Y} auch σ-additiv und es gilt μ_{|Y} (∅) = 0. Somit ist (Y, S_{Y} , μ_{|Y}) ein Maßraum.

Hausübungen

(H 1)

Bearbeiten Sie alle ungelösten Aufgaben des 3. Übungsblattes.

(H 2) Direkte Bilder von σ-Algebren

Es sei f : X → Y eine Abbildung und S eine σ-Algebra auf X.

(a) Zeigen Sie, daß

T := {A ⊂ Y | f^{−1}(A) ∈ S}

eine σ-Algebra auf Y ist. Man nennt f_{∗}(S) := T das direkte Bild von S unter f.

(b) Bestimmen Sie das direkte Bild f_{∗}(B(ℝ)) unter der Abbildung f : ℝ → ℤ, x ↦ [x] := max{z ∈ ℤ | z ≤ x}

Hinweis: Gilt z.B. 0 ∈ f_{∗}(B(ℝ))?

Lösung:

(a) S1 Wegen f^{−1}(∅) = ∅ ∈ S ist ∅ ∈ T .

S2 Ist A ∈ T , so ist f^{−1}(A) ∈ S und somit f^{−1}(Y \ A) = X \ f^{−1}(A) ∈ S, nach Lemma 1.22 (b) (bewiesen in Aufgabe G4 (a)). Also ist Y \ A ∈ T .

S3 Gegeben eine Folge (A_{n})_{n∈ℕ} von Mengen A_{n} ∈ T gilt f^{−1}(A_{n}) ∈ S und somit

f^{−1}( ⋃_{n∈ℕ}A_{n}) = ⋃_{n∈ℕ}f^{−1}(A_{n}) ∈ S.

Also ist ⋃_{n∈ℕ} A_{n} ∈ T .

(b) Für jede ganze Zahl n ∈ ℤ gilt f^{−1}({n}) = [n, n + 1[ ∈ B(ℝ). Also ist die einpunktige Menge {n} im direkten Bild von S enthalten, es ist {n} ∈ f_{∗}(B(ℝ)). Da jede Teilmenge A ⊂ ℤ abzählbar ist, folgt

A = ⋃_{n∈A} {n} ∈ f_{∗}(B(ℝ)) .

Somit gehört jede Teilmenge von ℤ zu f_{∗}(B(ℝ)), es ist also f_{∗}(B(ℝ)) = P(ℤ) die volle Potenzmenge von ℤ.

(H 3) Äußere Maße II

Es sei E ⊂ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge P(X) von X für die ∅, X ∈ E gilt sowie ϱ : E → [0, ∞] eine Funktion die ϱ(∅) = 0 erfüllt. Weiterhin sei μ^{∗} das von ϱ induzierte äußere Maß auf X. In welchen Fällen gilt ϱ = μ_{|E}^{∗} ?