Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 4. Juli 2006

Analysis IV

10. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Monotone Konvergenz

Es sei (f_{n}) ⊂ M^{+} eine Funktionenfolge die fast überall gegen eine Funktion f ∈ M^{+} konvergiert. Weiterhin sei die Folge (f_{n}) fast überall monoton steigend (,d.h. es gilt f_{1} ≤ f_{2} ≤ f_{3} ⋯ fast überall). Zeigen sie ∫ f dμ = lim ∫ f_{n} dμ.

Lösung:

Es sei (X, μ) der betrachtete Maßraum. Da die Funktionenfolge f_{n} fast überall monoton steigen ist gibt es eine Nullmenge N_{1} ⊂ X so daß die Folge f_{n} auf X \N_{1} monoton steigend ist. weiterhin gibt es eine Nullmenge N_{2} ⊂ X so daß die Folge f_{n} auf X \ N_{2} gegen die Funktion f konvergiert. Da N_{1} ∪ N_{2} eine Nullmenge ist, folgt

lim ∫_{X} f_{n} dμ = lim ∫_{X\(N_{1}∪N_{2})} f_{n} dμ
= ∫_{X\(N_{1}∪N_{2})} lim f_{n} dμ
= ∫_{X\(N_{1}∪N_{2})} f dμ
= ∫_{X} f dμ.

(G 2) Lemma von Fatou

Es sei (f_{n}) ⊂ M^{+} eine Funktionenfolge die fast überall gegen eine Funktion f ∈ M^{+} konvergiert. Zeigen sie ∫ f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫ f_{n} dμ.

Lösung:

Es sei (X, μ) der betrachtete Maßraum. Da die Funktionenfolge f_{n} fast überall gegen f konvergiert gibt es eine Nullmenge N, so daß f_{n} auf X \ N gegen f konvergiert. Aus dem Lemma von Fatou folgt

∫_{X} f dμ = ∫_{X\N} f dμ
= ∫_{X\N} lim f_{n} dμ
= ∫_{X\N} lim inf f_{n} dμ da f_{n} auf X \ N gegen f konvergiert
≤ lim inf ∫_{X\N} f_{n} dμ
= lim inf ∫_{X} f_{n} dμ.

(G 3) Integrabilität

Es sei f ∈ M^{+} eine integrable Funktion (,d.h. ∫ f dμ < ∞). Beweisen Sie, daß die Menge {x ∈ X : f(x) = ∞} eine μ-Nullmenge ist.

Lösung:

Wenn M = {x ∈ X : f(x) = ∞} keine μ-Nullmenge wäre, so gäbe es eine positive Stufenfunktion S ≤ f, welche nicht integrabel wäre, d.h. ∫ S dμ = ∞. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Approximation von ∫ f dμ durch solche Stufenfuntionen.

(G 4) Parameter-abhängige Integrale/Satz von Lebesgue

Es sei μ ein endliches Maß auf ℝ und f : ℝ × ℝ → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin gebe es eine integrierbare Funktion h : ℝ → ℝ mit |\frac{∂f}{∂y} (x, y)| ≤ h(x). Zeigen Sie, daß die Funktion

g(y) := ∫_{ℝ} f(·, y) dμ

differenizierbar ist und sich die Ableitung durch

g′(y) := ∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂y} (•, y) dμ

berechnet.

Lösung:

Wir zeigen die Differenzierbarkeit von g an einer Stelle y ∈ ℝ. Wendet man den Mittelwertsatz auf die Funktion s ↦ f(x, y + s) an, so findet man ein ϑ_{x,s} ∈ [0, s] mit

\frac{1}{s} (f(x, y + s) − f(x, y)) = \frac{∂f}{∂y} (x, y + ϑ_{x,s}).

Da nach vorraussetzung |\frac{∂f}{∂y} (x, y + ϑ_{x,s})| ≤ h(x) gilt, erhält man mit dem Satz über majorisierte Konvergenz (Satz von Lebesgue) für jede Folge (s_{n})_{n∈ℕ} mit lim s_{n} = 0 die Gleichungen

g′(y) = lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}} (g(y + s) − g(y))
= lim_{n→∞} ∫_{ℝ} \frac{1}{s} (f(x, y + s) − f(x, y)) dμ
= lim_{n→∞} ∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂y} (x, y + ϑ_{x,s}) dμ
= ∫_{ℝ} lim_{n→∞} \frac{∂f}{∂y} (x, y + ϑ_{x,s}) dμ
= ∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂y} (x, y) dμ

(G 5) Parameter-abhängige Integrale

Es sei μ ein endliches Maß (d.h. μ(ℝ) < ∞) auf (ℝ, B(ℝ)) derart, daß die Funktion id_{ℝ}: ℝ → ℝ, id_{ℝ}(x) := x bzgl. μ über ℝ integrierbar ist. Zeigen Sie, dass

g: ℝ → ℝ , g(y) := ∫_{ℝ} sin(xy) dμ(x)

stetig differenzierbar ist und finden Sie die Ableitung g′.

Lösung:

Wir wollen den Satz über parameterabhängige Integrale (siehe Aufgabe 4) anwenden. Wir haben

g(y) = ∫_{ℝ} f(y, x) dμ(x)

mit

f: ℝ × ℝ → ℝ , f(y, x) := sin(xy) .

Die Funktion f ist stetig differenzierbar; insbesondere existiert also die partielle Ableitung

\frac{∂f}{∂y} (y, x) = x cos(xy)

und ist stetig. Es ist also

|\frac{∂f}{∂y} (y, x)| = |x cos(xy)| ≤ |x| = h(x)

für alle x, y ∈ ℝ, wobei

h: ℝ → ℝ , h(x) := |x| .

Da per Voraussetzung id_{ℝ} bzgl. μ integrierbar ist, ist auch h = |id_{ℝ}| bzgl. μ integrierbar. Somit sind alle Voraussetzungen von Aufgabe 4 erfüllt: Die Funktion g ist stetig differenzierbar, mit

g′(y) = ∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂y} (y, x) dμ(x) = ∫_{ℝ} x cos(xy) dμ(x) .

(G 6) L^{1}-Räume

Es seien f, g ∈ L^{1}. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen

(a) ∀A ∈ M ∫_{A} f dμ = ∫_{A} g dμ (b) ∫_{X} |f − g| dμ = 0 (c) f = g fast überall.

Lösung:

Es sei (X, μ) der betrachtete Maßraum. Wir zeigen (a) ⇒ (b): Wir nehmen ∫_{X} |f −g| dμ ≠ 0 an. Dann gibt es eine nicht Nullmenge Y mit f ≠ g auf Y. Somit ist entweder die Menge Y_{+} = {y ∈ Y | f(y) > g(y)} oder die Menge Y_{−} = {y ∈ Y | f(y) < g(y)} keine Nullmenge. Wir nehmen o.B.d.A μ(Y_{+}) ≠ 0 an. Es gilt

Y_{+} = ⋃_{n∈ℕ}\{y ∈ Y | f(y) ≥ g(y) + \frac{1}{n}\}

Somit muß mindestens eine der Mengen Y_{n} := \{y ∈ Y | f(y) ≥ g(y) + \frac{1}{n}\} keine Nullmenge sein. Es folgt ∫_{Y_{+}} f − g dμ ≥ ∫_{Y_{n}} f − g dμ ≥ \frac{1}{n}μ(Y_{n}) > 0 im widerspruch zur Annahme (a).

(b) ⇒ (c): Angenommen es gäbe eine Menge Y mit f ≠ g auf Y und μ(Y) > 0. Analog zu oben ist mindestens eine der Mengen Y_{n} := \{y ∈ Y | |f(y) − g(y)| ≥ \frac{1}{n}\} keine Nullmenge. Es folgt ∫_{Y} |f − g| dμ ≥ ∫_{Y_{n}} |f − g| dμ ≥ \frac{1}{n}μ(Y_{n}) > 0 im Widerspruch zur Annahme (b).

(c) ⇒ (a): Nach Annahme gibt es eine Nullmenge N mit f = g auf X \ N. Somit folgt für jede meßbare Menge A:

∫_{A} f dμ = ∫_{A\N} f dμ
= ∫_{A\N} g dμ
= ∫_{A} g dμ.

(G 7)

Es sei (X, M, μ) ein endlicher Maßraum und 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) L^{p}(X, μ) ⊆ L^{r}(X, μ) (b) Aus μ(X) < ∞ folgt ∥f∥_{∞} = lim_{p→∞} ∥f∥_{p}

Lösung:

1. Wir nehmen zuerst p < ∞ an. Liegt f in L^{p}(X, μ), so liegt f^{r} in L^{\frac{p}{r}} (X, μ), denn es gilt

∫ |f^{r}|^{\frac{p}{r}} dμ = ∫ |f|^{p} dμ.

Da der Maßraum (X, M, μ) endlich ist, ist auch die konstante 1-Funktion integrierbar. Wir setzen q = 1 − \frac{r}{p}. Mit der Hölderschen Ungleichung folgt

∫ |f|^{r} dμ = ∥1 · f^{r}∥_{1} ≤ ∥1∥_{q} · ∥f^{r}∥_{\frac{p}{r}}

Somit ist |f^{r}| integrabel. Für p = ∞ und endliche Maßräume existiert das Integral ∫ ∥f∥_{∞} dμ und es gilt

∫ |f|^{r} dμ ≤ ∫ ∥f∥_{∞}^{r} dμ,

da |f| außerhalb einer Nullmenge kleiner als ∥f∥_{∞} ist. Somit ist f^{r} integrabel.

2. Für das Nullmaß oder ∥f∥_{∞} = 0 ist die Gleichung immer erfüllt. Ist μ nicht das Nullmaß und ∥f∥_{∞} ≠ 0, so gilt

lim (∫ |f|^{r} dμ)^{\frac{1}{r}} ≤ (∫ ∥f∥_{∞}^{r} dμ)^{\frac{1}{r}}
= lim μ(X)^{\frac{1}{r}} ∥f∥_{∞}
= 1 · ∥f∥_{∞} = ∥f∥_{∞}

Umgekehrt

Hausübungen

(H 1) L^{p}-Räume

Wir betrachten den Funktionenraum L^{p}((0, 1)^{d}) und die Funktionen f(x) = |x|^{α} für α ∈ ℝ. Für welche 1 ≤ p ≤ ∞ liegt f in L^{p}?

Lösung:

Die Funktion f(x) = |x|^{α} ist genau dann über (0, 1)^{d} integrierbar, wenn Sie über (−1, 1)^{d} integrierbar ist. In diesem Falle gilt 2^{d} ∫_{(0,1)^{d}} f dμ = ∫_{(−1,1)^{d}} f dμ. Da Funktion f stetig auf ℝ^{d} \ {0} ist, ist sie über jede kompakte Menge K ⊂ ℝ^{d} \ {0} interierbar, so auch über [−1, 1]^{d} \ B_{1}(0). Damit ist sie genau dann über [−1, 1]^{d} bzw. (−1, 1)^{d} integrierbar, wennn sie über die Einheitskugel B_{1}(0) intergrierbar ist. Die Einheitskugel B_{1}(0) läßt sich durch die Kugelschalen B_{1}(0) \ B_{\frac{1}{n}} (0) ausschöpfen. Ist f über B_{1}(0) integrierbar, so ergibt sich das integral als Grenzwert der Integrale über die ausschopfenden Mengen:

∫_{B_{1}(0)} f dμ = lim ∫_{B_{1}(0)\B_{\frac{1}{n}} (0)} f dμ,

d.h. dieser Grenzwert existiert. Die Integrale auf der rechten Seite berechnen sich mit Hilfe der Kugelkoordinaten zu

∫_{B_{1}(0)\B_{\frac{1}{n}} (0)} f dμ, = ∫ 1_{\frac{1}{n}} r^{α} · C_{d−1} · r^{d−1}dr,

wobei C_{d} die Fläche der d − 1 Sphäre 𝕊^{d−1} ist. Der Grenzwert für n → ∞ existiert nur für α + d − 1 > −1 bzw. für α > −d.

(H 2) Der Raum L^{∞}

In dieser Aufgabe betrachten wir den Raum L^{∞}(μ, ℝ) der reellen meßbaren außerhalb einer Nullmenge beschränkten Funktionen:

L^{∞}(μ, ℝ) := {f | f ist meßbar, ∃M ∈ ℝ : μ(|f|^{(−1)}((M, ∞]) = 0}.

Auf diesem definieren wir durch ∥f∥_{∞} := inf{M ∈ ℝ | μ(|f|^{(−1)}((M, ∞]) = 0} das wesentliche Supremum ∥ · ∥_{∞}. Im folgenden betrachten wir nur Funktionen und Funktionenfolgen in L^{∞}(μ, ℝ). Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) |f| ≤ ∥f∥_{∞} μ-fast überall.

(b) ∥ · ∥_{∞} ist eine Halbnorm auf L^{∞} und induziert eine Norm auf L^{∞}.

(c) ∥f_{n} − f∥_{∞} → 0 ⟹ es existiert eine meßbare Menge A mit μ(A^{c}) = 0 und f_{n} → f gleichmäßig auf A.

(d) (L^{∞}(μ), ∥ · ∥_{∞}) ist ein Banachraum.

(e) Es sei (ℝ^{d}, M, μ) der Lebesgue-Maßraum in ℝ^{d} und f ∈ L^{∞}(μ, ℝ) eine stetige Funktion. Dann ist sup_{x∈ℝ^{d}} |f(x)| das wesentliche Supremum ∥f∥_{∞} von f.

Lösung:

(a) Aus der Definition des wesentlichen Supremums folgt μ(|f|^{(−1)}((M, ∞])) = 0 für alle M > ∥f∥_{∞}. Wir setzen X_{n} := |f|^{(−1)}((∥f∥_{∞} + \frac{1}{n}, ∞]). Es folgt |f|^{(−1)}((∥f∥_{∞}, ∞]) = ⋃_{n∈ℕ} X_{n} und somit μ(|f|^{(−1)}((∥f∥_{∞}, ∞])) = lim μ(X_{n}) = 0. Somit gilt |f| ≤ ∥f∥_{∞} außergalb der Nullmenge ⋃_{n∈ℕ} X_{n}.

(b) Es seien f, g ∈ L^{∞}(μ, ℝ) und α ∈ ℝ. Es gilt f^{−1}(M, ∞]) = (αf)^{−1}((αM, ∞]). Somit folgt ∥αf∥_{∞} = |α| · ∥f∥_{∞}. Die Mengen N_{1} = |f|^{(−1)}((∥f∥_{∞}, ∞]) und N_{2} := |g|^{(−1)}((∥g∥_{∞}, ∞]) sind Nullmengen. Folglich gilt |f +g| ≤ |f|+|g| ≤ ∥f∥_{∞} +∥g∥_{∞} außerhalb von N_{1} ∪N_{2}. Aus der Definition des wesentlichen Supremums folgt ∥f +g∥_{∞} ≤ ∥f∥_{∞} + ∥g∥_{∞}. Die positive Definitheit folgt wie im Falle der L^{p}-Räume.

(c)

(d)

(e)