Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 14. Juni 2006

Analysis IV

8. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 1) Meßbare Mengen und Funktionen

(a) Zeigen Sie, dass jede abzählbare Teilmenge von ℝ eine Borelmenge ist. Ist die folgende Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ?

f(x) := \{ \begin{matrix}x & falls x ∈ ℚ; \\ 0 & sonst ? \end{matrix}

(b) Es sei (X, S) ein Messraum und (X_{n})_{n∈ℕ} eine Folge meßbarer Mengen X_{n} ∈ S mit Vereinigung ⋃_{n∈ℕ} X_{n} = X. Zeigen Sie: Eine Teilmenge A⊆X ist meßbar (also A ∈ S) genau dann, wenn A ∩ X_{n} ∈ S für alle n ∈ ℕ gilt.

(G 2) Meßbar oder nicht?

Wir betrachten die von der Menge E := {{1, 2, 3}, {3, 4}} erzeugte σ-Algebra S := σ(E) auf X := {1, 2, 3, 4}. Untersuchen Sie die Funktion f: (X, S) → (ℝ, B(ℝ)) auf Meßbarkeit:

(a) f(x) := (x − 3)^{2} , (b) f(x) := |x − \frac{3}{2}|.

(G 3) Stückweise definierte Funktionen

Es seien (X, A) und (Y, B) meßbare Räume sowie {A_{i}}_{i∈I} eine Überdeckung von X durch meßbare Mengen A_{i}. Zeigen Sie, daß jede Funktion f : X → Y, deren Einschränkungen f_{|A_{i}} : A_{i} → Y meßbar sind, meßbar ist.

(G 4) Eine stückweise definierte Funktion

Ist die durch

f(x) := \{ \begin{matrix}sin x & wenn x ∈ ℚ; \\ cos x & wenn x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

definierte Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ?

Hausübungen

(H 1)

Wir betrachten die reellen Zahlen mit der Borel-σ-Algebra. Es sei f : ℝ → ℝ eine monotone Funktion. Ist f meßbar?

(H 2) Meßbar oder nicht? Entscheiden Sie, ob die folgende Funktion f: (ℝ, B(ℝ)) → (ℝ, B(ℝ)) meßbar ist:

f(x) := \{ \begin{matrix}[\frac{1}{x}] · x & falls x ≠ 0 ; \\ 0 & falls x = 0 . \end{matrix}