Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 5. Juni 2006

Analysis IV

7. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Verknüpfung meßbarer Funktionen

Es seien (X, A), (Y, B) und (Z, D) meßbare Räume sowie g : X → Y und f : Y → Z zwei meßbare Funktionen. Beweisen Sie, daß die Verknüpfung f ∘ g meßbar ist.

(G 2) Operationen auf meßbaren Funktionen

Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Es seien f : ℝ → ℝ und g : ℝ → ℝ zwei meßbare Funktionen. Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) f + g  (b) min{f, g}  (c) max{f, g}  (d) f · g  (e) |f|

(G 3) charakteristische Funktionen

Es sei (X, A) ein meßbarer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge von X. Zeigen Sie, daß die charakteristische Funktion χ_{A} von A genau dann meßbar ist, wenn A ∈ A gilt, d.h. wenn A meßbar ist.

(G 4) Nicht meßbare Funktionen

Geben Sie ein Beispiel einer nicht meßbaren Funktion (auf ℝ) an.

(G 5) Zerlegung meßbaren Funktionen

Es sei (X, A) ein meßbarer Raum und B(ℝ) die Borel-σ-Algebra auf ℝ. Beweisen Sie, daß eine Funktion f : X → ℝ genau dann meßbar ist, wenn die Funktionen f^{+} := max(f, 0) und f^{−} := max(−f, 0) meßbar sind.

Hausübungen

(H 1) Meßbarkeit von Funktionen

Untersuchen Sie folgende reelle Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) [•] : ℝ → ℝ, [x] = max\{n ∈ ℕ | n ≤ x\} (b) f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x} & falls & x ≠ 0 \\ 0 & falls & x = 0 \end{matrix}

(H 2) Operationen auf meßbaren Funktionen

Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Weiterhin sei f_{n} : ℝ → ℝ, n ∈ ℕ eine Folge meßbare Funktionen. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Meßbarkeit:

(a) sup{f_{n} | n ∈ ℕ} (b) lim sup{f_{n} | n ∈ ℕ}