Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 30. Mai 2006

Analysis IV

6. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Lebesgue-Borel-Maß einiger Borelmengen

Wir betrachten die Borel-σ-Algebra B(ℝ) auf ℝ. Zeigen Sie, daß folgenden Mengen Borelmengen sind und berechnen Sie ihr Lebesgue-Maß:

(a) ]0, 1[  (b) [0, 1]  (c) {0}  (d) ℚ  (e) [0, 1] ∩ ℚ  (f) [0, 1] \ ℚ

(G 2) Hyperebenen

(a) Welches Maß hat die n − 1-Fläche [0, 1]^{n−1} × {0} im ℝ^{n}?

(b) Welches Maß hat die Hyperebene ℝ^{n−1} × {0} im ℝ^{n}?

(c) Welches Maß haben beliebige affine Ebenen geringerer Dimension im ℝ^{n}?

(G 3) Die verallgemeinerte Cantormenge

Es sei (α_{n}) eine Folge reeller Zahlen mit α_{n} ∈]0, 1[ für alle n ∈ ℕ. Wir definieren nun eine Folge A_{n} von Teilmengen von ℝ. A_{0} = [0, 1] sei das Einheitsintervall. Aus A_{0} entfernen wir das offene Teilintervall der Länge α_{1} mit Mittelpunkt \frac{1}{2} und definieren A_{1} als die Vereinigung der verblieben Intervalle I_{1,1} und I_{1,2}. Die Mengen A_{n} werden nun rekursiv definiert. Haben wir A_{n} als vereinigung der Intervalle I_{n,1}, …, I_{n,2^{n}} erhalten so entfernen wir aus den Intervallen I_{n,j} die offenen Teilintervalle α_{n+1}I_{n,j}, deren Mittelpunkte mit denen von I_{n,j} übereinstimmen und erhalten die Menge A_{n+1} als Vereinigung der verbleibenden Intervalle I_{n+1,1}, …, I_{n,2^{n+1}}. Den Schnitt C = ⋂ A_{n} nennen wir eine verallgemeinerte Cantor-Menge. Beweisen sie λ(C) = ∏_{n=1}^{∞}(1 − α_{n})

(G 4) Dichte, offene Mengen von kleinem Maß

(a) Da ℚ eine abzählbare unendliche Menge ist, gibt es eine Bijektion q : ℕ → ℚ, n ↦ q_{n}. Zeigen Sie, dass die Menge

U := ℝ \ ⋃_{n∈ℕ} ]q_{n} − 2^{−n}, q_{n} + 2^{−n}[

nicht leer ist.

(b) Finden Sie zu ε > 0 eine offene Teilmenge U ⊆ ℝ vom Maß λ(U) ≤ ε derart, dass U in ℝ dicht ist (d.h. daß U ∩ V ≠ ∅ für jede nicht-leere offene Teilmenge V ⊆ ℝ gilt).

(G 5) Urbilder borelscher Mengen

Es sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine stetige Funktion. Beweisen Sie, daß Urbilder von Borelmengen unter f wieder Borelmengen sind.

Hausübungen

(H 1) Bilder stetiger Funktionen

Zeigen Sie, daß das Bild einer stetigen Funktion f : ℝ → ℝ^{2} in ℝ^{2} nicht immer Maß 0 hat.

Hinweis: Betrachten Sie eine Peano-Kurve.

(H 2) Etwas verzwicktere Teilmengen

Für n ∈ ℕ sei A_{n} die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung bis zur Stelle n keine 7 enthält, A die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung keine 7 enthält sowie B die Menge aller reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ , deren Dezimalbruchentwicklung mindestens eine 7 enthält. (Hierbei betrachten wir nur Dezimalbrüche ohne Neunerperiode). Zeigen Sie, dass A_{n}, A und B Borelmengen sind und berechnen Sie das Lebesgue-Borel-Maß dieser Mengen.