Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 06 23.05.2006

Analysis IV

5. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Definitionen

(a) Gib die Definitionen der Begriffe σ-Algebra, Maß und äußeres Maß an. Falls Du sie nicht auswendig kannst, präge sie Dir ein.

(b) Sei X ≠ ∅ eine Menge und A ⊆ P(X) eine σ-Algebra. Eine Abbildung ϱ : A → [0, ∞] heißt Inhalt, falls ϱ(∅) = 0 und für jede endliche Folge disjunkter Mengen A_{1}, … A_{n} ∈ A gilt, dass

ϱ (⋃_{ı=1}^{n} A_{i}) = ∑_{i=1}^{n} ϱ(A_{i}).

Gib ein Beispiel für einen Inhalt an, der nicht σ-additiv ist.

(G 2) Lebesguemaß

Sei λ das Lebesguemaß auf ℝ.

(a) Finde eine nicht λ-messbare Menge M ⊆ ℝ.

(b) Gib ein Beispiel für eine nicht abzählbare λ-Nullmenge an.

(G 3) Beweis aus der Vorlesung im Fall n = 1

Es bezeichne V ol_{1}(a, b) das eindimensionale Volumen des Intervalls (a, b) ⊆ ℝ und λ_{1}^{∗} das eindimensionale äußere Lebesguemaß auf ℝ. Zeige, dass

λ_{1}^{∗}((a, b)) = V ol_{1}(a, b) für alle a, b ∈ ℝ.

Hausübungen

(H 1) Lebesguemaß und offene Mengen

Sei λ_{1}^{∗} das eindimensionale äußere Lebesguemaß auf ℝ. Zeige, dass offene Mengen λ_{1}^{∗}- messbar sind.

(H 2) Geschichte der Maßtheorie

Recherchiere, welche Schwierigkeiten bei der Entwicklung einer Theorie zur Berechnung von Volumina und Flächen schließlich zu den Begriffen der Maßtheorie führten, wie Du sie in der Vorlesung kennengelernt hast: σ-Algebren, Maße, äußere Maße, Volumen. Notiere das Ergebnis Deiner Recherche.