Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 16. Mai 2006

Analysis IV

4. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Urbilder von σ-Algebren

Es sei f : X → Y eine Abbildung und S eine σ-Algebra auf Y. Beweisen Sie, daß das Urbild f^{−1}(S) ⊂ P(X) von S unter f eine σ-Algebra ist.

(G 2) Äußere Maße

Es sei E ⊂ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge P(X) von X für die ∅, X ∈ E gilt sowie ϱ : E → [0, ∞] eine Funktion die ϱ(∅) = 0 erfüllt. Weiterhin sei μ^{∗} das von ϱ induzierte äußere Maß auf X.

(a) Gilt μ^{∗} ≤ ϱ auf E ?

(b) Beweisen Sie, daß für jedes äußere Maß τ auf X aus τ ≤ ϱ auf E schon τ ≤ μ^{∗} folgt.

(G 3) Stetigkeit von oben

Es sei μ das Zählmaß auf ℝ und A_{n} := (0, \frac{1}{n}) eine fallende Folge von Teilmengen. Berechnen Sie lim_{n→∞} μ(A_{n}) und μ (⋂_{n∈ℕ} A_{n}). Warum steht dies nicht im Widerspruch zum Satz über induzierte äußere Maße ?

(G 4) Fortsetzung von Maßen

Es sei E = P(ℚ) ⊂ P(ℝ) und ϱ das Zählmaß auf ℚ.

(a) Bestimmen Sie das von ϱ induzierte äußere Maß μ^{∗} auf ℝ. Wie läßt sich μ^{∗} sinnvoll auf Teilmengen von ℝ definieren, welche nicht durch Mengen A_{n} ∈ E überdeckt werden können?

(b) Finden Sie eine weitere Fortsetzung von ϱ, welche nicht mit μ^{∗} übereinstimmt.

(G 5) Einschränkung von Maßen

Es sei (X, S, μ) ein Maßraum und Y ∈ S eine meßbare Teilmenge. Wir betrachten die Menge S_{|Y} := {A ∈ S | A ⊂ Y } und die Einschränkung μ_{|Y} := μ_{|S_{|Y}}. Zeigen Sie, daß (Y, S_{Y} , μ_{|Y}) ein Maßraum ist.

Hausübungen

(H 1)

Bearbeiten Sie alle ungelösten Aufgaben des 3. Übungsblattes.

(H 2) Direkte Bilder von σ-Algebren Es sei f : X → Y eine Abbildung und S eine σ-Algebra auf X.

(a) Zeigen Sie, daß

T := {A ⊂ Y | f^{−1}(A) ∈ S}

eine σ-Algebra auf Y ist. Man nennt f_{∗}(S) := T das direkte Bild von S unter f.

(b) Bestimmen Sie das direkte Bild f_{∗}(B(ℝ)) unter der Abbildung f : ℝ → ℤ, x ↦ [x] := max{z ∈ ℤ | z ≤ x} Hinweis: Gilt z.B. 0 ∈ f_{∗}(B(ℝ))?

(H 3) Äußere Maße II Es sei E ⊂ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge P(X) von X für die ∅, X ∈ E gilt sowie ϱ : E → [0, ∞] eine Funktion die ϱ(∅) = 0 erfüllt. Weiterhin sei μ^{∗} das von ϱ induzierte äußere Maß auf X. In welchen Fällen gilt ϱ = μ_{|E}^{∗} ?