Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 06 09.05.2006

Analysis IV

3. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Monotonie

Sei Σ eine σ-Algebra auf einer nichtleeren Menge X und μ : Σ → [0, ∞) mit

\begin{matrix}(i) & μ(X) = 1, \\ (ii) & μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) für A, B ∈ Σ mit A ∩ B = ∅. \end{matrix}

Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) μ ist σ-additiv.

(b) μ ist stetig von unten, das heißt für alle Folgen (A_{n})_{n} mit A_{n} ↑ A und A_{n}, A ∈ Σ, gilt μ(A_{n}) ↑ μ(A).

(c) μ ist stetig von oben, das heißt für alle Folgen (A_{n})_{n} mit A_{n} ↓ A und A_{n}, A ∈ Σ, gilt μ(A_{n}) ↓ μ(A).

(d) μ ist stetig von oben in Null, das heißt für alle Folgen (A_{n})_{n} mit A_{n} ↓ ∅ und A_{n}, A ∈ Σ, gilt μ(A_{n}) ↓ 0.

Hinweis: Unter A_{n} ↑ A ist eine Folge mit A_{n} ⊆ A_{n+1} zu verstehen, unter ihrem Grenzwert A = ⋃_{ℕ} A_{n}. Analog versteht man unter A_{n} ↓ A eine Folge mit A_{n} ⊇ A_{n+1} und A = ⋂_{ℕ} A_{n}.

(G 2) Vervollständigung eines Maßraums

Ein Maßraum (X, Σ, μ) heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer μ-Nullmenge zu Σ gehört. In diesem Fall nennt man auch μ vollständig. Beweise den folgenden Satz. Satz: Es seien (X, Σ, μ) ein Maßraum, N das System aller Teilmengen von μ-Nullmengen und

Σ′ := {A ∪ N : A ∈ Σ, N ∈ N },
μ′ : Σ′ → ℝ̄ wo μ′(A ∪ N) := μ(A) für A ∈ Σ, N ∈ N .

Dann gilt:

(a) Σ′ ist eine σ-Algebra, μ′ ist wohldefiniert, und (X, σ′, μ′) ist ein vollständiger Maßraum. μ′ ist die einzige Fortsetzung von μ zu einem Maß auf Σ′.

(b) Jede vollständige Fortsetzung ϱ von μ ist eine Fortsetzung von μ′.

(G 3) Beispiel einer σ-Algebra Wir betrachten ein Maß auf P(ℝ) ein Maß μ und definieren ein Mengensystem A ⊆ P(ℝ) bestehend aus all denjenigen Mengen A, für die für alle ε > 0 eine abgeschlossene Menge F und eine offene Menge G existieren mit

F ⊆ A ⊆ G und μ(G \ F) ≤ ε.

(a) Verschärft die Forderung F, G ∈ B(ℝ) die Definition?

(b) Zeige, dass A abgeschlossen unter der Komplementbildung ist.

(c) Sind alle abgeschlossenen Mengen in A enthalten?

(d) Zeige, dass A abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten.

(e) Zeige, dass A eine σ-Algebra ist.

Hausübungen

(H 1) noch einmal 0-1-Maße Zeige, dass es

(a) ein 0-1-Maß auf ([0, 1], A) gibt, wenn A = {A ⊆ [0, 1] : A abzählbar oder A^{C} abzählbar},

(b) kein 0-1-Maß auf ([0, 1], B(ℝ)) gibt und

(b) kein 0-1-Maß auf ([0, 1], P(ℝ)) gibt.

Erinnerung: Sei Σ eine σ-Algebra auf der Menge X. Ein Maß μ auf Σ heißt 0-1-Maß, wenn μ(A) ∈ {0, 1} für alle A ∈ Σ, μ(X) = 1 und μ({x}) = 0 für alle x ∈ X.

(H 2) Cantorsches Diskontinuum Aus dem abgeschlossenen Einheitsintervall [0, 1] ⊆ ℝ wird das offene Intervall (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) entfernt, aus dem abgeschlossenen Rest die Intervalle (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) und (\frac{7}{9}, \frac{8}{9}) usw., das heißt jeweils die offenen mittleren Drittel der zusammenhängenden, abgeschlossenen Reste werden entfernt. Setzt man das Verfahren unbegrenzt fort, so erhält man als Restmenge das Cantorsche Diskontinuum C.

(a) Finde eine Darstellung von C.

(b) Zeige: Wenn es ein Maß λ auf B(ℝ) gibt, das einem Intervall den Betrag der Differenz seiner Grenzen zuweist, so gilt λ(C) = 0.