Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 06 17.07.2006

Analysis IV

13. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Berechnung einiger Volumina

(a) Berechnen Sie das Volumen λ_{3}(M) des Ellipsoids M := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x/a)^{2} + (y/b)^{2} + (z/c)^{2} ≤ 1}, wobei a, b, c > 0. Hinweis: Benutzen Sie das Prinzip von Cavalieri und Aufgabe G1 vom 12. Übungsblatt.

(b) Berechnen Sie mit dem Prinzip von Cavalieri das Volumen des Körpers M := K ∩ Z, der durch Schneiden der Kugel K := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1} und des Zylinders Z := \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{2}\} entsteht.

(G 2) Volumen eines Rotationskörpers

Es sei r : ℝ → [0, ∞[ eine messbare Funktion. Uns interessiert das Volumen des Rotationskörpers

M := \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ r(z)\} = h^{−1}([0, ∞[)

mit h: ℝ^{3} → ℝ, h(x, y, z) := r(z) − \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

(a) Zeigen Sie, dass M ∈ B(ℝ^{3}).

(b) Zeigen Sie, dass λ_{3}(M) = π ∫_{ℝ} r(z)^{2} dλ_{1}(z).

(c) Berechnen Sie für α > 0 das Volumen der Menge

M := \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ≥ 1 und \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z^{−α}\} .

(G 3) Volumen eines Rotationskörpers

(a) Sei f : [a, b] → ℝ_{+} messbar. Wir definieren in ℝ^{n+1} den Rotationskörper

K_{f} := {(x, t) ∈ ℝ^{n} × [a, b] : ∥x∥ ≤ f(t)}.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers K_{f} in Abhängigkeit des Volumens c_{n} der n-dimensionalen Einheitskugel mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips.

(b) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Funktion f : [−a, a] → ℝ_{+} durch f(t) = |t| gegeben ist. Skizzieren Sie die Situation im Fall n = 2.

(G 4) Rechenaufgabe zu Flächenintegralen

Berechne das Flächenintegral

∫_{𝕊_{2}} x^{2} y^{2} dS_{𝕊_{2}}(x, y, z).

(G 5) Gaußscher Integralsatz

Satz (Gauß): Sei K⊆ℝ^{n} kompakt mit glattem Rand, ν : ∂K → ℝ^{n} äusseres Normalenfeld. Ferner sei K⊆U, U⊆ℝ^{n} offen und F ∈ C^{1}(U, ℝ^{n}). Dann gilt

∫_{K} divF (x)dλ_{n}(x) = ∫_{∂K} F (x) · ν(x)dS_{∂K}(x).

Wir betrachten die Menge K := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{4} + z^{6} ≤ 1} und das Vektorfeld

F: ℝ^{3} → ℝ^{3} , F (x, y, z) := (x^{2}y^{3}, xz + xy^{4}, cos(xy)) .

(a) Zeige, dass K ein Kompaktum mit glattem Rand ist.

(b) Berechne das Flächenintegral

∫_{∂K}⟨F (x, y, z), ν(x, y, z)⟩ dS_{∂K}(x, y, z) ,

indem Du es als ein geeignetes Volumenintegral umschreibst; hierbei ist ν: ∂K → ℝ^{3} das äußere Normalenfeld von K.

Beachte, dass wir ν gar nicht explizit ausrechnen müssen !

(G 6) Divergenz als Flussdichte

Es sei F: ℝ^{3} → ℝ^{3} ein stetig differenzierbares Vektorfeld und x_{0} ∈ ℝ^{3}. Für r > 0 bezeichne K_{r} die abgeschlossene Kugel vom Radius r um x_{0}. Wir betrachten den sogenannten “Fluss” ∫_{∂K_{r}}⟨F (x), ν(x)⟩ dS_{∂K_{r}}(x) von F durch die Sphäre ∂K_{r} vom Radius r um x_{0} (wobei ν : ∂K_{r} → ℝ^{3} jeweils das äußere Normalenfeld ist).

Zeigen Sie mit dem Gaußschen Integralsatz, dass

lim_{r→0} \frac{∫_{∂K_{r}}⟨F (x), ν(x)⟩ dS_{∂K_{r}}(x)}{λ_{3}(K_{r})} = div F (x_{0}) .

Hinweis: Schreiben Sie div F (x_{0}) = \frac{1}{λ_{3}(K_{r})} ∫_{K_{r}} div F (x_{0}) dλ_{3}(x).