Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 10. Juli 2006

Analysis IV

12. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Flächenberechnung mit dem Cavalierischen Prinzip Es seien a, b > 0 und M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x/a)^{2} + (y/b)^{2} ≤ 1}

(a) Skizzieren Sie M für a = 1 und b = 2.

(b) Bestimmen Sie den Schnitt M_{y} := {x ∈ ℝ: (x, y) ∈ M} für y ∈ ℝ.

(c) Berechnen Sie das 2-dimensionale Volumen λ_{2}(M) von M. (G 2) Satz von Fubini Skizzieren sie die Fläche

A := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1 und x, y ≥ 0} .

und berechnen Sie das Integral ∫_{A}(2x + y) dλ_{2}(x, y). (G 3) Zylinder Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine Mengeund a ∈ ℝ^{n+1}. Wir Definieren den Zylinder Basis M und Kante a durch

Z = {(x, 0) + t a ∈ ℝ^{n+1} | x ∈ M, 0 ≤ t ≤ 1}

Die Abbildung T : ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1} T (x, t) := (x, 0)+t a bildet M ×[0, 1] auf Z ab. Berechnen Sie mit Hilfe der Transformationformel das Volumen des Zylinders Z. (G 4) Kugeln

(a) Berechnen Sie das Volumen der Halbkugel H := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, z ≥ 0} (b) Berechnen Sie das Volumen der Kugelschale S := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 1 ≤ x^{2}+y^{2}+z^{2} ≤ 2} (G 5) Volumina von Kegeln Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine meßbare Menge und a ∈ ℝ^{n+1}. Wir identifizieren ℝ^{n} mit ℝ^{n} × {0} und betrachten den Kegel K := {(1 − t)(x, 0) + t a ∈ ℝ^{n+1}; 0 ≤ t ≤ 1, x ∈ M} über M.

(a) Parametrisieren Sie den Kegel K durch M und [0, 1].

(b) Berechnen Sie das Volumen λ_{n+1}(K). (G 6) Berechnung einer Fläche Es sei M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1 und (x ≤ 0 oder |y| ≤ x)}. Skizzieren Sie die Menge M und berechnen Sie ihren Flächeninhalt λ_{2}(M) mit dem Prinzip von Cavalieri.

(G 7) Volumenberechnung Berechnen Sie das Volumen des von den Flächen

x + y = 1 , x = 0 , y = 0 , z = 6x^{2} + 2y^{2} und z = 0

eingeschlossenen Körpers K.

(G 8) Cavilierisches Prinzip Wir betrachten die Zylinder

Z_{1} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ 1} und

Z_{2} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} ≤ 1}

sowie ihre Schnittmenge M := Z_{1} ∩ Z_{2}.

(a) Versuchen Sie eine grobe Skizze von M.

(b) Bestimmen Sie für (x, y) ∈ ℝ^{2} die Schnitte

M_{(x,y)} := {z ∈ ℝ: (x, y, z) ∈ M} .

(c) Berechnen Sie das Volumen λ_{3}(M) von M.

(G 9) Satz von Fubini und Konvergenzsätze Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

lim_{n→∞} ∫ ∞_{\frac{1}{n}} e^{−u} ∫_{0}^{∞} e^{−ux^{2}} cos (βx) dxdu.

Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis e^{−β} = ∫_{0}^{∞} \frac{cos (βx)}{1+x^{2}} dx. (Dies wird in der Funktionentheorie gezeigt.)