Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 06 03.07.2006

Analysis IV

11. Übung

Gruppenübungen

(G 1) zu den Voraussetzungen des Satzes von Fubini

Mache Dir klar, dass eine iterierte Integration der Funktion

f(x, y) = \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

bezüglich des Lebesguemaßes mit 0 < x, y < 1 nicht das gleiche Ergebnis liefert, wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht. Ist f λ^{2}-integrierbar über ]0, 1[^{2}? Hinweis: Leite arctan \frac{x}{y} ab.

(G 2) großer Umordnungssatz für Doppelreihen

Leite aus dem Satz von Fubini eine Aussage darüber her, wann

∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} a_{nm} = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} a_{nm}

gilt.

(G 3) Satz von Fubini I

Berechne das Integral ∫_{A} f dλ_{2}, wobei …

(a) A das Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) ist und

f(x, y) := x^{2} + y^{3} + 2xy^{2} ;

(b) A das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (0, π), (π, 0) ist und

f(x, y) := xy − 3 cos(x + y) .

(G 4) Satz von Fubini II

Benutze ein Doppelintegral der Funktion

f(x, y) = y · e^{−(1+x^{2})y^{2}}

über ℝ_{+}, um ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx zu bestimmen.

Hausübungen

(H 1) Satz von Fubini III (2 Punkte)

Berechne das Integral ∫_{A}(2x + y) dλ_{2}(x, y), wobei

A := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1 und x, y ≥ 0} .

(H 2) Satz von Fubini IV (4 Punkte)

In dieser Aufgabe soll nachgewiesen werden, dass ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} gilt.

(a) Berechne zunächst den Wert von

P := ∫_{0}^{1} (∫_{−1}^{1} \frac{1}{1 + xy} dx) dy

durch Entwicklung des Integranden in die geometrische Reihe und anschließende gliedweise Integration. Hinweis: P = 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n+1)^{2}}

(b) Führe in P die Substitution u(x) = x + \frac{1}{2}y(x^{2} − 1) durch und vertausche nun die Integrationsreihenfolge (warum geht das?). Berechne den Wert des so entstandenen Integrals, indem Du an geeigneter Stelle noch zweimal substituierst, zunächst v(y) = \frac{y+u}{\sqrt{1−u^{2}}} und dann u = − cos 2φ mit 0 < φ < \frac{π}{2}. Hinweis: (1 + u)(1 − u^{2})^{− \frac{1}{2}} = tan φ und P = \frac{π^{2}}{4}

(c) Leite nun her, dass ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} gilt.