Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 26. Juni 2006

Analysis IV

10. Übung, Extrablatt

(A 1) Die L^{1}-Räume

Zeige Sie, daß die Menge L^{1}(μ, ℝ) := {f : X → ℝ, f integrierbar} ein reeller Vektorraum ist und daß das Integral auf L^{1}(μ, ℝ) ein lineares Funktional ist, d.h. daß

∫ f + αg = ∫ f + α ∫ g.

für alle f, g ∈ L^{1}(μ, ℝ) gilt.

(A 2) L^{1}-Räume

Beweisen Sie, daß für alle f ∈ L^{1} die Gleichung | ∫ f| ≤ ∫ |f| erfüllt ist.

(A 3) Youngsche Ungleichung

Es seien a, b, p, q ∈ ℝ_{+} positive relle Zahlen und es gelte \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Beweisen Sie

ab ≤ \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} .

(A 4) Höldersche Ungleichung

Es seien f_{i} ∈ L^{p_{i}}, 1 ≤ p_{i} ≤ ∞ für i = 1, …, n. Ferner sei 1 ≤ p ≤ ∞ so gewählt, daß \frac{1}{p} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{p_{i}} gilt. Beweisen sie

∏_{i=1}^{n} f_{i} ∈ L^{p} und ∥∏_{i=1}^{n} f_{i}∥_{L^{p}} ≤ ∏_{i=1}^{n} ∥f_{i}∥_{L^{p_{i}}}.

(A 5) Höldersche Ungleichung

Es seien p_{0}, p_{1} ∈ [1, ∞], θ ∈ (0, 1) und p_{θ} derart gewählt, daß \frac{1}{p_{θ}} := \frac{1−θ}{p_{0}} + \frac{θ}{p_{1}} gilt. Zeigen Sie: Für f ∈ L^{p_{0}}(X, μ) ∩ L^{p_{1}}(X, μ) gilt f ∈ L^{p_{θ}}(X, μ) sowie

∥f∥_{p_{θ}} ≤ ∥f∥_{p_{0}}^{1−θ} · ∥f∥_{p_{1}}^{θ}.