Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 4. Juli 2006

Analysis IV

10. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Monotone Konvergenz

Es sei (f_{n}) ⊂ M^{+} eine Funktionenfolge die fast überall gegen eine Funktion f ∈ M^{+} konvergiert. Weiterhin sei die Folge (f_{n}) fast überall monoton steigend (,d.h. es gilt f_{1} ≤ f_{2} ≤ f_{3} ⋯ fast überall). Zeigen sie ∫ f dμ = lim ∫ f_{n} dμ.

(G 2) Lemma von Fatou

Es sei (f_{n}) ⊂ M^{+} eine Funktionenfolge die fast überall gegen eine Funktion f ∈ M^{+} konvergiert. Zeigen sie ∫ f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫ f_{n} dμ.

(G 3) Integrabilität

Es sei f ∈ M^{+} eine integrable Funktion (,d.h. ∫ f dμ < ∞). Beweisen Sie, daß die Menge {x ∈ X : f(x) = ∞} eine μ-Nullmenge ist.

(G 4) Parameter-abhängige Integrale/Satz von Lebesgue

Es sei μ ein endliches Maß auf ℝ und f : ℝ × ℝ → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion. Weiterhin gebe es eine integrierbare Funktion h : ℝ → ℝ mit |\frac{∂f}{∂y} (x, y)| ≤ h(x). Zeigen Sie, daß die Funktion

g(y) := ∫_{ℝ} f(·, y) dμ

differenzierbar ist und sich die Ableitung durch

g′(y) := ∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂y} (•, y) dμ

berechnet.

(G 5) Parameter-abhängige Integrale

Es sei μ ein endliches Maß (d.h. μ(ℝ) < ∞) auf (ℝ, B(ℝ)) derart, daß die Funktion id_{ℝ}: ℝ → ℝ, id_{ℝ}(x) := x bzgl. μ über ℝ integrierbar ist. Zeigen Sie, daß

g: ℝ → ℝ , g(y) := ∫_{ℝ} sin(xy) dμ(x)

stetig differenzierbar ist und finden Sie die Ableitung g′.

(G 6) L^{1}-Räume

Es seien f, g ∈ L^{1}. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen

(a) ∀A ∈ M ∫_{A} f dμ = ∫_{A} g dμ (b) ∫_{X} |f − g| dμ = 0 (c) f = g fast überall.

(G 7)

Es sei (X, M, μ) ein endlicher Maßraum und 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) L^{p}(X, μ) ⊆ L^{r}(X, μ) (b) Aus μ(X) < ∞ folgt ∥f∥_{∞} = lim_{p→∞} ∥f∥_{p}

Hausübungen

(H 1) L^{p}-Räume

Wir betrachten den Funktionenraum L^{p}((0, 1)^{d}) und die Funktionen f(x) = |x|^{α} für α ∈ ℝ. Für welche 1 ≤ p ≤ ∞ liegt f in L^{p}?

(H 2) Der Raum L^{∞}

In dieser Aufgabe betrachten wir den Raum L^{∞}(μ, ℝ) der reellen meßbaren außerhalb einer Nullmenge beschränkten Funktionen:

L^{∞}(μ, ℝ) := {f | f ist meßbar, ∃M ∈ ℝ : μ(|f|^{(−1)}((M, ∞]) = 0}.

Auf diesem definieren wir durch ∥f∥_{∞} := inf{M ∈ ℝ | μ(|f|^{(−1)}((M, ∞]) = 0} das wesentliche Supremum ∥ · ∥_{∞}. Im folgenden betrachten wir nur Funktionen und Funktionenfolgen in L^{∞}(μ, ℝ). Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) |f| ≤ ∥f∥_{∞} μ-fast überall.

(b) ∥ · ∥_{∞} ist eine Halbnorm auf L^{∞} und induziert eine Norm auf L^{∞}.

(c) ∥f_{n} − f∥_{∞} → 0 ⟹ es existiert eine meßbare Menge A mit μ(A^{c}) = 0 und f_{n} → f gleichmäßig auf A.

(d) (L^{∞}(μ), ∥ · ∥_{∞}) ist ein Banachraum.

(e) Es sei (ℝ^{d}, M, μ) der Lebesgue-Maßraum in ℝ^{d} und f ∈ L^{∞}(μ, ℝ) eine stetige Funktion. Dann ist sup_{x∈ℝ^{d}} |f(x)| das wesentliche Supremum ∥f∥_{∞} von f.