Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2006 21. April 2006

Analysis IV

1. Übung

Gruppenübungen

(G 1) σ-Algebren Es sei X eine Menge. Zeigen Sie, daß {A ⊆ X | A abzählbar oder A^{c} abzählbar} ⊆ P(X) eine σ-Algebra ist. (G 2) Algebren und σ-Algebren Es sei X ≠ ∅ eine nicht leere Menge. Ein Mengensystem A ⊆ P(X) heißt Algebra, falls es folgende Bedingungen erfüllt:

i) X ∈ A, ii) A ∈ A impliziert A^{c} ∈ A, iii) A_{1}, …, A_{n} ∈ A impliziert ⋃_{j=1}^{n} A_{j} ∈ A. Zeigen Sie: Ist A eine Algebra mit der Eigenschaft

A_{j} ∈ A für alle j ∈ ℕ, A_{j} ∩ A_{k} = ∅ für j ≠ k ⟹ ⋃_{j=1}^{∞} A_{j} ∈ A,

so ist A eine σ-Algebra. (G 3) 2. Abzählbarkeitsaxiom Beweisen Sie, daß jede offene Menge O ⊆ ℝ eine abzählbare Vereinigung offener Intervalle (a, b), a, b ∈ ℚ ist. Hinweis: Betrachten Sie die dichte Teilmenge ℚ von ℝ. (G 4) Erzeugen von σ-Algebren Bestimmen Sie die von E := {[0, 1]} und {{x} | x ∈ ℝ, x > 0} erzeugten σ-Algebren auf ℝ. (G 5) Erzeugendensysteme der Borel-σ-Algebra Zeigen Sie, daß die folgende Mengensysteme genau die Borelsche σ-Algebra in ℝ erzeugen.

(a) E_{1} := {(a, b) : a < b}, (b) E_{2} := {[a, b] : a < b}; (c) E_{3} := {(a, b] : a < b},

(d) E_{4} := {[a, b) : a < b}; (e) E_{5} := {(a, ∞) : a ∈ ℝ}, (f) E_{6} := {(−∞, a) : a ∈ ℝ}; (g) E_{7} := {[a, ∞) : a ∈ ℝ}, (h) E_{8} := {(−∞, a] : a ∈ ℝ};

(G 6) Erzeugen von σ-Algebren Zeigen Sie E ⊆ A_{σ}(X) ⟹ A_{σ}(E) ⊆ A_{σ}(X).

Hausübungen

(H 1) 0-1-Maße Ein Maß μ auf X heißt 0-1-Maß, falls es folgende Bedingungen erfüllt:

i) μ : P(X) → {0, 1}, ii) μ({x}) = 0 für alle x ∈ X, iii) μ(X) = 1. Zeigen Sie, daß kein 0-1-Maß μ auf ℕ existiert.

(H 2) 2. Abzählbarkeitsaxiom Beweisen Sie ein zu G3 analoges Resultat für offene Teilmengen von ℝ^{n}. (Eine Teilmenge J von ℝ^{n} heißt Intervall, wenn J = ∏_{k=1}^{n} J_{k} gilt, wobei die Mengen J_{k} Intervalle in ℝ sind).

(H 3) 0-1-Maße Zeigen Sie, daß kein 0-1-Maß auf [0, 1] existiert.